Составители:
Рубрика:
на α и обозначается α
u
;
в) для любых элементов
x
,
y
,
z
из
Z
и любых чисел α и β выполнены
следующие требования (аксиомы):
1
.
x
+
y
=
y
+
x
2. (
x
+
y
) +
z
=
x
+ (
y
+
z
)
3. Существует элемент
0
такой, что для каждого
x
из
Z
выполнено равенство
x
+ 0 =
x
4. Для каждого
x
уществует элемент
x
такой, что
x
+ ( -
x
)=
0
.
5. α(
x
+
y
) = α
x
+ α
y
.
6. (α + β) х = α
x
+ β
x
.
7. α (β
x
) =( α β)
x
.
8. 1·
x
=
x
.
Примеры линейных пространств:
1. Множество свободных векторов геометрического пространства которые
складываются и умножаются на число по обычным правилам векторной
алгебры.
2. Множество всех многочленов степени не выше второй, которые складываются
и умножаются на число по обычным правилам алгебры.
3. Множество упорядоченных наборов чисел (строк)
x
= (x
1
, x
2
, …, x
n
), если действия над строками определяются следующим образом:
x
+
y
= (x
1
, x
2
, …x
n
) + (y
1
, y
2
, …y
n
), = (x
1
+y
1
, x
2
+y
2
, …x
n
+y
n
).
α
x
= α (x
1
, x
2
, …x
n
) = (αx
1
, αx
2
, … αx
n
).
Данное линейное пространство строк обозначим R
n
.
§2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов
линейного пространства
Определение. Векторы (
x
1
,
x
2
, …
x
m
) называются линейно«зависимы-
ми, если существуют такие числа α
1
, α
2
, … α
m
, из которых хотя бы одно не
равно нулю, что α
1
x
1
+α
2
x
2
+ …+ α
m
x
n
= 0.
Определение. Векторы (
x
1
,
x
2
, …
x
m
) называются линейно независи-
мыми, если равенство α
1
x
1
+α
2
x
2
+ …+ α
m
x
m
=
0
возможно только при
α
1
= α
2
= …α
m
= 0.
Определение. Если вектор
x
, выражается через векторы
x
1
,
x
2
, …
x
3
в виде
x
= α
1
x
1
+α
2
x
2
+ …+ α
s
x
s
, то вектор
x
называется линейной комбинацией
векторов
x
1
,
x
2
, …
x
s
Теорема. Векторы
x
1
,
x
2
, …
x
m
линейно зависимы тогда и только тогда, когда
хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.
Пусть даны га векторов пространства R
n
:
на α и обозначается α u ; в) для любых элементов x , y , z из Z и любых чисел α и β выполнены следующие требования (аксиомы): 1. x+ y = y + x 2. ( x + y ) + z = x + ( y + z ) 3. Существует элемент 0 такой, что для каждого x из Z выполнено равенство x +0= x 4. Для каждого x уществует элемент x такой, что x + ( - x )= 0 . 5. α ( x + y ) = α x + α y . 6. (α + β) х = α x + β x . 7. α (β x ) =( α β) x . 8. 1· x = x . Примеры линейных пространств: 1. Множество свободных векторов геометрического пространства которые складываются и умножаются на число по обычным правилам векторной алгебры. 2. Множество всех многочленов степени не выше второй, которые складываются и умножаются на число по обычным правилам алгебры. 3. Множество упорядоченных наборов чисел (строк) x = (x1, x2, …, xn), если действия над строками определяются следующим образом: x + y = (x1, x2, …xn) + (y 1 , y 2 , …y n ), = (x 1 +y 1 , x 2 +y 2 , …x n +y n ). α x = α (x1, x2, …xn) = (αx 1 , αx 2 , … αx n ). Данное линейное пространство строк обозначим Rn. §2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства Определение. Векторы ( x 1, x 2, … x m) называются линейно«зависимы- ми, если существуют такие числа α 1 , α 2 , … α m , из которых хотя бы одно не равно нулю, что α 1 x 1+α 2 x 2+ …+ α m x n = 0. Определение. Векторы ( x 1, x 2, … x m) называются линейно независи- мыми, если равенство α 1 x 1+α 2 x 2+ …+ α m x m = 0 возможно только при α 1 = α 2 = …α m = 0. Определение. Если вектор x , выражается через векторы x 1, x 2, … x 3 в виде x = α 1 x 1+α 2 x 2+ …+ α s x s, то вектор x называется линейной комбинацией векторов x 1, x 2, … x s Теорема. Векторы x 1, x 2, … x m линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Пусть даны га векторов пространства Rn:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »