Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 19 стр.

на α и обозначается α u ;
   в) для любых элементов x , y , z из Z и любых чисел α и β выполнены
следующие требования (аксиомы):
1.     x+ y = y + x
2. ( x + y ) + z = x + ( y + z )
3. Существует элемент 0 такой, что для каждого x из Z выполнено равенство
      x +0= x
4. Для каждого x уществует элемент x такой, что x + ( - x )= 0 .
5. α ( x + y ) = α x + α y .
6. (α + β) х = α x + β x .
7. α (β x ) =( α β) x .
8. 1· x = x .
      Примеры линейных пространств:
      1. Множество свободных векторов геометрического пространства которые
складываются и умножаются на число по обычным правилам векторной
алгебры.
      2. Множество всех многочленов степени не выше второй, которые складываются
и умножаются на число по обычным правилам алгебры.
      3. Множество упорядоченных наборов чисел (строк)
x = (x1, x2, …, xn), если действия над строками определяются следующим образом:
x + y = (x1, x2, …xn) + (y 1 , y 2 , …y n ), = (x 1 +y 1 , x 2 +y 2 , …x n +y n ).
α x = α (x1, x2, …xn) = (αx 1 , αx 2 , … αx n ).
Данное линейное пространство строк обозначим Rn.

     §2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов
                       линейного пространства
      Определение. Векторы ( x 1, x 2, … x m) называются линейно«зависимы-
ми, если существуют такие числа α 1 , α 2 , … α m , из которых хотя бы одно не
равно нулю, что α 1 x 1+α 2 x 2+ …+ α m x n = 0.
      Определение. Векторы ( x 1, x 2, … x m) называются линейно независи-
мыми, если равенство α 1 x 1+α 2 x 2+ …+ α m x m = 0 возможно только при
α 1 = α 2 = …α m = 0.
      Определение. Если вектор x , выражается через векторы x 1, x 2, … x 3 в виде
x = α 1 x 1+α 2 x 2+ …+ α s x s, то вектор x называется линейной комбинацией
векторов x 1, x 2, … x s
      Теорема. Векторы x 1, x 2, … x m линейно зависимы тогда и только тогда, когда
хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.
      Пусть даны га векторов пространства Rn: