Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 20 стр.

x 1 =( x 11, x 12, … x 1n),…, x m =( x m1, x m2, … x mm). Необходимо выяснить, при
каких условиях данные m векторов линейно зависимы или линейно независимы.
Рассмотрим векторное равенство:
α 1 (x11, x12, …x1n) + α 2 (x21, x22, …x2n) + …+ α m (xm1, xm2, …xmn) = (0; 0; 0...0).
Векторное равенство равносильно системы уравнений:




      Если данная однородная система имеет только нулевое
α 1 = α 2 = …α m = 0, то векторы линейно независимы.
      Если система имеет ненулевое решение, то векторы линейно зависимы.
Пример. Исследовать на линейную зависимость векторы
x 1=(1;2;3;4;1), x 2=(2;-1;1;2;3), x 3=(3;1;4;6;4)
Решение: α 1 (1;2;3;4;1) + α 2 (2;-1;1;2;3) + α 3 (3;1;4;6;4) = (0;0;0;0;0)




Систему решаем методом Гаусса.




     Система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Следовательно,
векторы линейно зависимы.

                           §3. Ранг и базис системы векторов

Пусть дана система m векторов линейного пространства x 1 =( x 11, x 12, … x 1n),
 x 2 =( x 21, x 22, … x 2n), x m =( x m1, x m2, … x mm).
      Определение. Базисом системы векторов называется такая ее
подсистема, которая обладает следующими свойствами:
1) эта подсистема линейно независима;