Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

x1 = 13х3 - 17x4
х2 = -4х3 + 7х4
(6.3)
Будем придавать свободным неизвестным значения, которые являются
строками единичной матрицы
Вычисляя x
1
, x
1
по формулам (6.3), найдем решения, образующие базис:
а
1
=(13;-4;1;0);
а
2
= (-17;7;0;1)
Любое решение системы раскладывается по базису:
(13х
3
-17х
4
; -4x
3
+7x
4
; х
3
;х
4
)=х
3
(13;-4;1;0)+ x
4
(-17;7;0;1)
§
7. Евклидовы пространства
7.1. Понятие Евклидова пространства
Определение. Говорят, что в линейном пространству задано скалярное
произведение векторов, если каждой паре векторов
x
,
y
пространства по-
ставлено в соответствии число, обозначаемое символом х • у и обладающее
свойствами:
1.
x
+
y
=
y
+
x
2. (α
x
) ·
y
= α (
x
·
y
) для любого числа α
3. (
x
+
y
) ·
z
=
x
·
z
+
y
·
z
4.
x
·
x
≥ 0, из равенства
x
·
x
= 0, следовательно,
x
= 0
Линейное пространство, в котором определено скалярное произведение,
удовлетворяющее условиям (1-4) называется евклидовым.
Примеры евклидовых пространств:
1. Множество векторов обычного геометрического пространства, в ко-
тором скалярное произведение определено как произведение модулей векто-
ров на косинус угла между ними.
2. Множество функций непрерывных на отрезке [а; в], где скалярное
произведение функций f(x) и φ(х), определено формулой:
(f, φ) - обозначение скалярного произведения функций; свойства (1-4) вытекают из
свойств определенных интегралов.
7.2. Длина вектора, угол между векторами
Определение. Длиной вектора
x
в евклидовом пространстве называется
число xxx ⋅=
Определение. Нормировать вектор
x
, значит построить новый вектор
e
единичной длины по следующей формуле
Определение. Углом между векторами
x
и
y
называется число
()
,)()(, dxxxff
b
a
ϕ
ϕ
⋅
=
∑
x1 = 13х3 - 17x4
х2 = -4х3 + 7х4                         (6.3)
      Будем придавать свободным неизвестным значения, которые являются
строками единичной матрицы




Вычисляя x1, x1 по формулам (6.3), найдем решения, образующие базис:
а 1=(13;-4;1;0); а 2 = (-17;7;0;1)
     Любое решение системы раскладывается по базису:
(13х3-17х4; -4x3+7x4; х3;х4)=х3(13;-4;1;0)+ x4(-17;7;0;1)

                                §7. Евклидовы пространства
                          7.1. Понятие Евклидова пространства
       Определение. Говорят, что в линейном пространству задано скалярное
произведение векторов, если каждой паре векторов x , y пространства по-
ставлено в соответствии число, обозначаемое символом х • у и обладающее
свойствами:
1. x + y = y + x
2. (α x ) · y = α ( x · y ) для любого числа α
3. ( x + y ) · z = x · z + y · z
4. x · x ≥ 0, из равенства x · x = 0, следовательно, x = 0
       Линейное пространство, в котором определено скалярное произведение,
удовлетворяющее условиям (1-4) называется евклидовым.
       Примеры евклидовых пространств:
       1. Множество векторов обычного геометрического пространства, в ко-
тором скалярное произведение определено как произведение модулей векто-
ров на косинус угла между ними.
       2. Множество функций непрерывных на отрезке [а; в], где скалярное
произведение функций f(x) и φ(х), определено формулой:
( f , ϕ ) = ∑ba ( f )x ⋅ ϕ ( x)dx,
(f, φ) - обозначение скалярного произведения функций; свойства (1-4) вытекают из
свойств определенных интегралов.

                     7.2. Длина вектора, угол между векторами
      Определение. Длиной вектора x в евклидовом пространстве называется
число    x = x⋅x
      Определение. Нормировать вектор x , значит построить новый вектор e


единичной длины по следующей формуле

      Определение. Углом между векторами x и y называется число

Страницы