Элементы линейной алгебры. Бертик И.А - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

ло λ называется соответствующим вектору
x
собственным значением линейного
преобразования.
Замечание. Если
x
собственный вектор, то α
x
также будет собственным при любых
α.
Пусть дана матрица линейного преобразования в некотором базисе:
Теорема. Все собственные значения линейного преобразования являются
корнями характеристического уравнения
А координаты собственного вектора
x
= (x
1
, x
2
,... х
n
), собственные значения
которого λ являются ненулевыми решениями однородной системы линейных
уравнений
Особенно простой вид принимает матрица линейного преобразования n -мерного
линейного пространства, когда линейное преобразование имеет n –линейно
независимых собственных векторов. В этом случае собственные векторы можно
принять за базис и матрица линейного преобразования в этом базисе имеет вид
Такая матрица называется диагональной, по диагонали стоят собственные значения
линейного преобразования.
Однако далеко не каждое линейное преобразование в n-мерном линейном
пространстве имеет n - линейно независимых собственных векторов.
§3. Симметрические линейные преобразования евклидовых
пространств
Ниже будет рассматриваться трехмерное евклидово пространство с ор-
тонормированным базисом
e
1
,
e
2
,
e
3
. 
ло λ называется соответствующим вектору x собственным значением линейного
преобразования.
Замечание. Если x собственный вектор, то α x также будет собственным при любых
α.
      Пусть дана матрица линейного преобразования в некотором базисе:




     Теорема. Все собственные значения линейного преобразования являются
корнями характеристического уравнения




     А координаты собственного вектора x = (x1, x2,... хn), собственные значения
которого λ являются ненулевыми решениями однородной системы линейных
уравнений




     Особенно простой вид принимает матрица линейного преобразования n -мерного
линейного пространства, когда линейное преобразование имеет n –линейно
независимых собственных векторов. В этом случае собственные векторы можно
принять за базис и матрица линейного преобразования в этом базисе имеет вид




Такая матрица называется диагональной, по диагонали стоят собственные значения
линейного преобразования.
     Однако далеко не каждое линейное преобразование в n-мерном линейном
пространстве имеет n - линейно независимых собственных векторов.

      §3. Симметрические линейные преобразования евклидовых
                           пространств
     Ниже будет рассматриваться трехмерное евклидово пространство с ор-
тонормированным базисом e 1 , e 2 , e 3.

Страницы