Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4 Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»
§ 1. Критерий измеримости множества
Обозначения: R
n
— n-мерное евклидово пространс тво то-
чек x = (x
1
, . . . ,x
n
); Q
k
— замкнутый куб ранга k; S
k
(E) и
S
∗
k
(E) — соответственно внутреннее и внешнее (замкнутые)
ступенчатые тела множества E ⊂ R
n
; µE — мера Жордана
множества E.
Лемма 1.1. Пусть Q
k
∩E 6= φ, Q
k
6⊂ E. Тогда Q
k
∩∂E 6= φ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x ∈ Q
k
∩E, y ∈ Q
k
\E. Тогда
принадлежащий Q
k
отрезок с концами в точках x,y обладает
тем свойством, что один из его концов лежит в E, а другой
— вне E. Применяя к этому отрезку процесс неограниченного
деления пополам и отбирая каждый раз ту половину, которая
обладает указанным свойством, получим стягивающуюся си-
стему вложенных отрезков с некоторой общей точкой z. Всякая
окрестность точки z содержит как точки из E, так и не из E.
Поэтому z ∈ ∂E.
Лемма 1.2. ∂E = E\int E, E ⊂ S
∗
k
(E).
Лемма 1.3. µ ∂Q
k
= 0, µ ∂S
k
(E) = 0 для ограниченного
множества E.
Критерий измеримости множества (по Жордану)
Неограниченное множество неизмеримо. Ограниченное мно-
жество E измеримо тогда и только тогда, когда µ ∂E = 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о для ограниченного множества E.
I. Покажем, что µ ∂E = 0 влечет измеримость E. С помо-
щью леммы 1.1 имеем, очевидно,
S
∗
k
(E) ⊂ S
∗
k
(∂E) ∪ S
k
(E).
Поэтому
µS
∗
k
(E) 6 µS
∗
k
(∂E) + µS
k
(E),
4    Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

       § 1. Критерий измеримости множества
     Обозначения: Rn — n-мерное евклидово пространство то-
чек x = (x1 , . . . ,xn ); Qk — замкнутый куб ранга k; Sk (E) и
Sk∗ (E) — соответственно внутреннее и внешнее (замкнутые)
ступенчатые тела множества E ⊂ Rn ; µE — мера Жордана
множества E.
    Лемма 1.1. Пусть Qk ∩E 6= φ, Qk 6⊂ E. Тогда Qk ∩∂E 6= φ.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x ∈ Qk ∩E, y ∈ Qk \E. Тогда
принадлежащий Qk отрезок с концами в точках x,y обладает
тем свойством, что один из его концов лежит в E, а другой
— вне E. Применяя к этому отрезку процесс неограниченного
деления пополам и отбирая каждый раз ту половину, которая
обладает указанным свойством, получим стягивающуюся си-
стему вложенных отрезков с некоторой общей точкой z. Всякая
окрестность точки z содержит как точки из E, так и не из E.
Поэтому z ∈ ∂E.
    Лемма 1.2. ∂E = E\ int E, E ⊂ Sk∗ (E).

   Лемма 1.3. µ ∂Qk = 0, µ ∂Sk (E) = 0 для ограниченного
множества E.
Критерий измеримости множества (по Жордану)
Неограниченное множество неизмеримо. Ограниченное мно-
жество E измеримо тогда и только тогда, когда µ ∂E = 0.
   Д о к а з а т е л ь с т в о для ограниченного множества E.
  I. Покажем, что µ ∂E = 0 влечет измеримость E. С помо-
     щью леммы 1.1 имеем, очевидно,
                      Sk∗ (E) ⊂ Sk∗ (∂E) ∪ Sk (E).
     Поэтому
                    µSk∗ (E) 6 µSk∗ (∂E) + µSk (E),

Страницы