Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2 2. 5
т.е.
µS
∗
k
(E) − µS
k
(E) 6 µS
∗
k
(∂E) → 0 (k → ∞),
и, следовательно, измеримо.
II. Покажем, что измеримость E влечет µ ∂E = 0. В силу
леммы 1.2
∂E ⊂ E\int E ⊂ S
∗
k
(E)\int S
k
(E) ⊂
⊂ [S
∗
k
(E)\S
k
(E)] ∪ [S
k
(E)\int S
k
(E)] ⊂
⊂ S
4
k
(E) ∪ ∂S
k
(E),
где
S
4
k
(E) = UQ
k
Q
k
⊂S
∗
k
(E), Q
k
6⊂S
k
(E)
.
Отсюда в силу полуаддитивности верхней меры и
леммы 1.3 имеем
µ
∗
∂E 6 µ
∗
S
4
k
(E) + µ
∗
∂S
k
(E) = µS
4
k
(E) =
= µS
∗
k
(E) − µS
k
(E) → 0 (k → ∞),
так что µ
∗
∂E = 0, что и требовалось доказать.
§ 2. Геометрический смысл модуля
якобиана отображения
В этом параграфе изучается отображение
F :
(
x = x(u,v),
y = y(u,v),
(1)
открытого множества G двумерного евклидова пространства
R
2
uv
на открытое множество G
∗
евклидова пространства R
2
xy
:
R
2
uv
⊃
G
откр.
F
G
∗
откр.
⊂ R
2
xy
со свойствами:
1
◦
. F взаимно однозначно отображает G на G
∗
,
2
◦
. F непрерывно дифференцируемо на G,
                                 § 2 2.                                 5

    т.е.
              µSk∗ (E) − µSk (E) 6 µSk∗ (∂E) → 0            (k → ∞),
     и, следовательно, измеримо.
 II. Покажем, что измеримость E влечет µ ∂E = 0. В силу
     леммы 1.2
                     ∂E ⊂ E\ int E ⊂ Sk∗ (E)\ int Sk (E) ⊂
                   ⊂ [Sk∗ (E)\Sk (E)] ∪ [Sk (E)\ int Sk (E)] ⊂
                              ⊂ Sk4 (E) ∪ ∂Sk (E),
    где
                        Sk4 (E) =            U Qk            .
                                    Qk ⊂Sk∗ (E), Qk 6⊂Sk (E)
   Отсюда в силу полуаддитивности верхней меры и
леммы 1.3 имеем
            µ∗ ∂E 6 µ∗ Sk4 (E) + µ∗ ∂Sk (E) = µSk4 (E) =
                   = µSk∗ (E) − µSk (E) → 0 (k → ∞),
так что    µ∗ ∂E   = 0, что и требовалось доказать.

            § 2. Геометрический смысл модуля
                   якобиана отображения
   В этом параграфе изучается отображение
                        (
                          x = x(u,v),
                    F :                                                (1)
                          y = y(u,v),
открытого множества G двумерного евклидова пространства
R2uv на открытое множество G∗ евклидова пространства R2xy :
                                       F
                       R2uv ⊃ G  G∗ ⊂ R2xy
                               откр.       откр.
со свойствами:
 1◦ . F взаимно однозначно отображает G на G∗ ,
 2◦ . F непрерывно дифференцируемо на G,

Страницы