Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 7 стр.

§2. Геометрический смысл модуля якобиана отображения         7

   Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы о локальном вза-
имно однозначном соответствии для точек (u,v) ∈ G и (x,y) =
= F (u,v) существуют окрестности, находящиеся во взаимно
однозначном соответствии, причем эти окрестности можно
брать сколь угодно малыми по диаметру. Следовательно,
точки (u,v) и (x,y) лишь одновременно могут являться вну-
тренними, или граничными, или предельными точками соот-
ветственно для E и F (E). Отсюда следует утверждение 1◦
леммы и замкнутость множества F (Q). Ограниченность F (Q)
следует из теоремы Вейерштрасса об ограниченности непре-
рывной функции, примененной к x(u,v), y(u,v). Заметим, что
∂F (Q) = F (∂Q) состоит из четырех гладких кривых. Поэтому
µ∂F (Q) = 0. В силу критерия измеримости F (Q) измеримо и
свойство 2◦ установлено.
   Свойства 3◦ и 4◦ будут использованы лишь при доказатель-
стве теоремы 3.3
   Установим свойство 3◦ . Покажем, что µF (E) = 0. Заме-
тим, что Sk∗ = Sk∗ (E) ⊂ G для всех k, больших некоторого k0 ,
в силу положительности расстояния между замкнутыми мно-
жествами E и R2 \G. Пусть

                       max |x0u |, x0v |, |yu0 |, |yv0 | .
                          
              κ := max
                    ∗Sk
                       0


В силу (2) образ каждого из составляющих Sk∗ квадратов со-
держится в квадрате в 4κ раз сторонами, параллельными ко-
ординатным осям. Поэтому при k > k0

                µ∗ F (E) 6 µ∗ F (Sk∗ ) 6 16κ2 µSk∗ .

Правая часть неравенства стремится к нулю при k → ∞, от-
куда следует, что µF (E) = 0.