Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2. Геометрический смысл модуля якобиана отображения 9
Сравним F с линейным отображением
ˆ
F :
(
x = ˆx(u,v) = x
0
+ a
11
(u − u
0
) + a
12
(v −v
0
),
y = ˆy(u,v) = y
0
+ a
21
(u − u
0
) + a
22
(v −v
0
).
Из аналитической геометрии известно, что
µ
ˆ
F (Q
h
)
µQ
h
=
a
11
a
12
a
21
a
22
= |J(u
0
,v
0
)|.
Сравним параллелограмм
ˆ
F (Q
h
) и криволинейный парал-
лелограмм F (Q
h
). Положим
ε(h) := sup
|u−u
0
|6h
|v−v
0
|6h
max {|ε
1
|,|ε
2
|}, ε(h) → 0 при h → 0.
Тогда для (u,v) ∈ Q
h
|x(u,v) − ˆx(u,v)| 6 ε(h)
√
2h, |y(u,v) − ˆy(u,v)| 6 ε(h)
√
2h.
Отсюда, очевидно, следует, что:
F (Q
h
) ⊂ U
3ε(h)h
ˆ
F (Q
h
)
. (5)
x
y
3
ε
(
h
)
h
3
ε
(
h
)
h
Рис. 1.
Поэтому
µF (Q
h
) 6 µU
3ε(h)h
ˆ
F (Q
h
)
6
6 µ
ˆ
F (Q
h
) + o(h
2
) =
= |J(u
0
,v
0
)|h
2
+ o(h
2
), и (4)
установлено (см. рис. 1).
Замечание. Оценка (4)
и ее доказательство сохра-
няются и при J(u
0
,v
0
) =
= 0, если в левой части
(4) вместо µF (Q
h
) написать
µ
∗
F (Q
h
).
§2. Геометрический смысл модуля якобиана отображения                        9

   Сравним F с линейным отображением
          (
            x = x̂(u,v) = x0 + a11 (u − u0 ) + a12 (v − v0 ),
     F̂ :
            y = ŷ(u,v) = y0 + a21 (u − u0 ) + a22 (v − v0 ).
   Из аналитической геометрии известно, что
                 µF̂ (Qh )         a11 a12
                           =                     = |J(u0 ,v0 )|.
                   µQh             a21 a22

   Сравним параллелограмм F̂ (Qh ) и криволинейный парал-
лелограмм F (Qh ). Положим
     ε(h) :=     sup       max {|ε1 |,|ε2 |} ,    ε(h) → 0 при h → 0.
               |u−u0 |6h
               |v−v0 |6h

Тогда для (u,v) ∈ Qh
                            √                             √
   |x(u,v) − x̂(u,v)| 6 ε(h) 2h, |y(u,v) − ŷ(u,v)| 6 ε(h) 2h.
Отсюда, очевидно, следует, что:
                                                
                       F (Qh ) ⊂ U3ε(h)h F̂ (Qh ) .                     (5)
Поэтому
                                                            3ε(h




                           
µF (Qh ) 6 µU3ε(h)h F̂ (Qh ) 6
                              = y
                                                              )h




6     µF̂ (Qh ) + o(h2 )
= |J(u0 ,v0 )|h2 + o(h2 ), и (4)
установлено (см. рис. 1).
    Замечание. Оценка (4)         3ε(h
                                       )h
и ее доказательство сохра-
няются и при J(u0 ,v0 ) =
= 0, если в левой части
(4) вместо µF (Qh ) написать
µ∗ F (Qh ).
                                                                        x
                                                        Рис. 1.

Страницы