Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8 Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»
Свойство 4
◦
следует из ограниченности F (E) ⊂ F (E), вы-
текающей из теоремы Вейерштрасса, свойств 1
◦
,3
◦
и критерия
измеримости.
Теорема 2.1 (геометрический смысл модуля якобиана
отображения). Пусть (u
0
,v
0
) ∈ G, h
0
> 0,
G ⊃ Q
h
:= {(u,v) : u
h
6 u 6 u
h
+ h, v
h
6 v 6 v
h
+ h} 3 (u
0
,v
0
)
при всех h, 0 < h 6 h
0
.
Тогда
lim
h→0
µF (Q
h
)
µQ
h
= |J(u
0
,v
0
)|. (3)
Доказательство будет приведено ниже в виде следствия из
теоремы 3.1 о замене переменных в интеграле. Частичное вы-
яснение геометрического смысла модуля якобиана отображе-
ния доставляет
Лемма 2.6. В условиях теоремы 2.1 при h → 0
µF (Q
h
) 6 |J(u
0
,v
0
)|µQ
h
+ o(h
2
). (4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поясним, что точка (u
0
,v
0
) необя-
зательно является центром Q
h
. Отображе ние F дифференци-
руемо, поэтому
F :
x = x
0
+a
11
(u − u
0
) + a
12
(v − v
0
)+
+ε
1
(u − u
0
, v − v
0
)
p
(u − u
0
)
2
+ (v − v
0
)
2
,
y = y
0
+a
21
(u − u
0
) + a
22
(v − v
0
)+
+ε
2
(u − u
0
, v − v
0
)
p
(u − u
0
)
2
+ (v − v
0
)
2
,
где a
11
= x
0
u
(u
0
,v
0
), a
12
= x
0
v
(u
0
,v
0
), a
21
= y
0
u
(u
0
,v
0
), a
22
=
= y
0
v
(u
0
,v
0
), ε
i
(u − u
0
,v − v
0
) → 0 при (u,v) → (u
0
,v
0
).
8    Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

   Свойство 4◦ следует из ограниченности F (E) ⊂ F (E), вы-
текающей из теоремы Вейерштрасса, свойств 1◦ ,3◦ и критерия
измеримости.
   Теорема 2.1 (геометрический смысл модуля якобиана
отображения). Пусть (u0 ,v0 ) ∈ G, h0 > 0,

G ⊃ Qh := {(u,v) : uh 6 u 6 uh + h,         vh 6 v 6 vh + h} 3 (u0 ,v0 )
при всех h, 0 < h 6 h0 .
   Тогда
                            µF (Qh )
                      lim            = |J(u0 ,v0 )|.                (3)
                     h→0     µQh
   Доказательство будет приведено ниже в виде следствия из
теоремы 3.1 о замене переменных в интеграле. Частичное вы-
яснение геометрического смысла модуля якобиана отображе-
ния доставляет
    Лемма 2.6. В условиях теоремы 2.1 при h → 0
                 µF (Qh ) 6 |J(u0 ,v0 )|µQh + o(h2 ).               (4)

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Поясним, что точка (u0 ,v0 ) необя-
зательно является центром Qh . Отображение F дифференци-
руемо, поэтому
        
        
        
         x = x0 +a11 (u − u0 ) + a12 (v − v0 )+
                                         p
                   +ε1 (u − u0 , v − v0 ) (u − u0 )2 + (v − v0 )2 ,
        
        
    F :
        
        
         y = y0 +a21 (u − u0 ) + a22 (v − v0 )+
                                         p
                   +ε2 (u − u0 , v − v0 ) (u − u0 )2 + (v − v0 )2 ,
        
        

где a11 = x0u (u0 ,v0 ), a12 = x0v (u0 ,v0 ), a21 = yu0 (u0 ,v0 ), a22 =
= yv0 (u0 ,v0 ), εi (u − u0 ,v − v0 ) → 0 при (u,v) → (u0 ,v0 ).

Страницы