Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10 Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»
§ 3. Замена переменных в кратном интеграле
Теорема 3.2. Пусть
F :
(
x = x(u,v)
y = y(u,v)
— отображение открытого измеримого множества G ⊂ R
2
uv
на
открытое измеримое множество G
∗
⊂ R
2
xy
:
R
2
u,v
⊃
G
откр.
измер.
F
⇒ G
∗
откр.
измер.
⊂ R
2
x,y
,
со свойствами:
1
◦
. F взаимно однозначно отображает G на G
∗
,
2
◦
. F непрерывно дифференцируемо на G,
3
◦
. J(u,v) =
∂(x,y)
∂(u,v)
6= 0 на G,
4
◦
. F,J непрерывно продолжимы на G,
5
◦
. функция f непрерывна на G
∗
и непрерывно продолжима
на G
∗
.
Тогда
ZZ
G
∗
f(x,y) dx dy =
ZZ
G
f[x(u,v), y(u,v)]
∂(x,y)
∂(u,v)
du dv . (1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обе части (1) существуют в силу
непрерывности подынтегральных выражений на замыканиях
измеримых множеств интегрирования.
Будем считать до конца доказательства, что f > 0 на G
∗
.
Это ограничение не снижает общности. В самом деле, если
M > sup
G
∗
|f|, f(x) = f
1
(x) −f
2
(x),
где
f
1
(x) = f(x) + M > 0, f
2
(x) = M > 0,
10     Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

      § 3. Замена переменных в кратном интеграле

      Теорема 3.2. Пусть
                                   (
                                       x = x(u,v)
                             F :
                                       y = y(u,v)
— отображение открытого измеримого множества G ⊂ R2uv на
открытое измеримое множество G∗ ⊂ R2xy :
                                         F
                  R2u,v ⊃              G∗ ⊂ R2x,y ,
                                  G ⇒ откр.
                                 откр.
                              измер.         измер.
со свойствами:
 1◦ . F взаимно однозначно отображает G на G∗ ,
 2◦ . F непрерывно дифференцируемо на G,
               ∂(x,y)
 3◦ . J(u,v) = ∂(u,v) 6= 0 на G,
 4◦ . F,J непрерывно продолжимы на G,
 5◦ . функция f непрерывна на G∗ и непрерывно продолжима
           ∗
      на G .
    Тогда
    ZZ                  ZZ
                                               ∂(x,y)
        f (x,y) dx dy =     f [x(u,v), y(u,v)]        du dv . (1)
                                               ∂(u,v)
      G∗                     G

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Обе части (1) существуют в силу
непрерывности подынтегральных выражений на замыканиях
измеримых множеств интегрирования.
   Будем считать до конца доказательства, что f > 0 на G∗ .
Это ограничение не снижает общности. В самом деле, если
               M > sup |f |,           f (x) = f1 (x) − f2 (x),
                        G∗
где
             f1 (x) = f (x) + M > 0,            f2 (x) = M > 0,

Страницы