Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. Замена переменных в кратном интеграле 11
и (1) установлено для f
1
и f
2
, то оно оказывается верным и
для f = f
1
− f
2
.
1-й ш а г . Покажем, что
ZZ
f(x,y) dx dy 6
ZZ
f[x(u,v),y(u,v)]|J(u,v)|du dv, (2)
где Q = {(u,v) : u
1
6 u 6 u
1
+ h, v
1
6 v 6 v
1
+ h} ⊂ G, Q
∗
=
= F (Q). Рассуждая от противного, предположим, что равен-
ство (2) нарушено, т.е. при некотором ε
0
> 0
Z Z
F (Q)
f(x,y) dx dy > (1 + ε
0
)
ZZ
G
f[x(u,v),y(u,v)] ×|J(u,v)|du dv .
(3)
Разобьем G на 4 равных замкнутых ква драта. Обозначим че-
рез Q
(1)
тот из них, для которого (при k = 1)
Z Z
F (Q
(k)
)
f(x,y) dx dy > (1 + ε
0
)
ZZ
Q
(k)
[x(u,v), y(u,v)]|J(u,v)|du dv .
(4)
Такой квадрат Q
(1)
существует : предположив противное и
сложив 4 неравенства, противоположных неравенству типа (4)
при k = 1, входим в противоречие с (3). Разобьем Q
(1)
на 4 рав-
ных замкнутых квадрата и обозначим через Q
(2)
тот из них,
для которого выполняется (с k = 2 ) неравенство (4). Продол-
жая деление, получим систему вложенных квадратов
Q
(k)
∞
1
со свойством (4). В силу принципа вложенных отрезков (тако-
выми являются проекции Q
(k)
) существует точка (u
0
,v
0
) ∈ Q
(k)
при всех k. Из (4) в силу теоремы о среднем для интеграла
имеем
f(˜x
k
,˜y
k
)µF (Q
(k)
) >
> (1 + ε
0
)f[x(u
k
,v
k
), y(u
k
,v
k
)]|J(u
k
,v
k
)|µQ
(k)
.
§3. Замена переменных в кратном интеграле                            11

и (1) установлено для f1 и f2 , то оно оказывается верным и
для f = f1 − f2 .

    1-й ш а г . Покажем, что
       ZZ                 ZZ
          f (x,y) dx dy 6    f [x(u,v),y(u,v)]|J(u,v)| du dv,       (2)

где Q = {(u,v) : u1 6 u 6 u1 + h, v1 6 v 6 v1 + h} ⊂ G, Q∗ =
= F (Q). Рассуждая от противного, предположим, что равен-
ство (2) нарушено, т.е. при некотором ε0 > 0
Z Z                             ZZ
      f (x,y) dx dy > (1 + ε0 )    f [x(u,v),y(u,v)] × |J(u,v)| du dv .
F (Q)                            G
                                                                  (3)
Разобьем G на 4 равных замкнутых квадрата. Обозначим че-
рез Q(1) тот из них, для которого (при k = 1)
Z Z                               ZZ
        f (x,y) dx dy > (1 + ε0 )    [x(u,v), y(u,v)]|J(u,v)| du dv .
 F (Q(k) )                           Q(k)
                                                                     (4)
Такой квадрат Q(1) существует : предположив противное и
сложив 4 неравенства, противоположных неравенству типа (4)
при k = 1, входим в противоречие с (3). Разобьем Q(1) на 4 рав-
ных замкнутых квадрата и обозначим через Q(2) тот из них,
для которого выполняется (с k = 2 ) неравенство (4). Продол-
                                                                      ∞
жая деление, получим систему вложенных квадратов Q(k) 1
со свойством (4). В силу принципа вложенных отрезков (тако-
выми являются проекции Q(k) ) существует точка (u0 ,v0 ) ∈ Q(k)
при всех k. Из (4) в силу теоремы о среднем для интеграла
имеем
                        f (x̃k ,ỹ k )µF (Q(k) ) >
         > (1 + ε0 )f [x(uk ,v k ), y(uk ,v k )]|J(uk ,v k )|µQ(k) .

Страницы