Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. Замена переменных в кратном интеграле 13
и учесть, что
µS
m
(G
∗
) → µG
∗
(m → ∞)
в силу измеримости G
∗
.
Для обоснования левого включения (8) заметим, что оно
равносильно включению
F
−1
[S
m
(G
∗
)] ⊂ S
k
(G), ∀k > k(m). (9)
Левая часть (9) в силу леммы 2.2 есть ограниченное замкну-
тое подмножество множества G. Оно удалено от замкнутого
множества R
2
\G на положительное расстояние ρ = ρ(m) > 0 (в
силу положительности расстояния между двумя замкнутыми
непересекающимися множествами, из которых одно ограни-
чено). Следовательно, (9) выполняется при всех k таких, что
√
λ · 10
−k
< ρ.
4-й ш а г . Установим равенство (1). Применим доказан-
ное неравенство (6) к обратному отображению F
−1
(якобиан
которого
∂(u,v)
∂(x,y)
=
∂(x,y)
∂(u,v)
−1
=
1
J(u,v)
ограничен на F S
k
) и к
функции g(u,v) := f[x(u,v ), y(u,v)]|J(u,v)|. Имеем
ZZ
S
k
f[x(u,v), y(u,v)]
∂(x,y)
∂(u,v)
du dv 6
Z Z
F (S
k
)
f(x,y) dx dy. (10)
Из (10) предельным переходом при k → ∞, как и на тре-
тьем шаге, получаем неравенство, противоположное неравен-
ству (6). Из него и из (6) следует (1). Теорема доказана.
Замечание. Теорема 3.1 справедлива и при более общих
условиях: вместо условия 4
◦
достаточно предположить, что
произведение f[x(u,v), y(u,v)]|J(u,v)| непрерывно продолжимо
на G. Для обоснования в равенстве (1), написанном для S
k
и
F (S
k
) вместо соответственно G и G
∗
, следует перейти к пре-
делу при k → ∞.
§3. Замена переменных в кратном интеграле                      13

и учесть, что
                   µSm (G∗ ) → µG∗    (m → ∞)
в силу измеримости     G∗ .
   Для обоснования левого включения (8) заметим, что оно
равносильно включению
                F −1 [Sm (G∗ )] ⊂ Sk (G), ∀k > k(m).           (9)
    Левая часть (9) в силу леммы 2.2 есть ограниченное замкну-
тое подмножество множества G. Оно удалено от замкнутого
множества R2 \G на положительное расстояние ρ = ρ(m) > 0 (в
силу положительности расстояния между двумя замкнутыми
непересекающимися множествами, из которых одно ограни-
чено).
√       Следовательно, (9) выполняется при всех k таких, что
  λ · 10−k < ρ.

   4-й ш а г . Установим равенство (1). Применим доказан-
ное неравенство (6) к обратному отображению F −1 (якобиан
         ∂(u,v)     ∂(x,y) −1     1
                         
которого ∂(x,y) = ∂(u,v)      = J(u,v) ограничен на F Sk ) и к
функции g(u,v) := f [x(u,v), y(u,v)]|J(u,v)|. Имеем
  ZZ                                    Z Z
                        ∂(x,y)
     f [x(u,v), y(u,v)]         du dv 6        f (x,y) dx dy. (10)
                        ∂(u,v)
   Sk                                     F (Sk )

    Из (10) предельным переходом при k → ∞, как и на тре-
тьем шаге, получаем неравенство, противоположное неравен-
ству (6). Из него и из (6) следует (1). Теорема доказана.
    Замечание. Теорема 3.1 справедлива и при более общих
условиях: вместо условия 4◦ достаточно предположить, что
произведение f [x(u,v), y(u,v)]|J(u,v)| непрерывно продолжимо
на G. Для обоснования в равенстве (1), написанном для Sk и
F (Sk ) вместо соответственно G и G∗ , следует перейти к пре-
делу при k → ∞.

Страницы