Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. Замена переменных в кратном интеграле 15
— разбиения соответственно Q и Q
∗
. В силу леммы 2.1, приме-
ненной к отображению F
−1
, diamD
i
6 KdiamD
∗
i
при некоторой
постоянной K, откуда
|τ| 6 K|τ
∗
|. (13)
Пусть, далее, ω(
˜
f,D
i
), ω(f,D
∗
i
) — колебания функций
˜
f,f
соответственно на D
i
,D
∗
i
. Тогда
i
τ
X
i=1
ω(f,D
∗
i
)µD
∗
i
=
i
τ
X
i=1
ω(
˜
f,G
i
)
ZZ
D
i
|J(u,v)|du dv 6
6 max
Q
|J|
i
τ
X
i=1
ω(
˜
f,D
i
)µD
i
→ 0
при |τ
∗
| → 0, поскольку при этом в силу (13) и |τ | → 0.
В силу критерия интегрируемости существует интеграл
в левой части (2). Установим теперь само неравенство (2).
Воспользуемся разбиениями (12), в которых будем считать за-
мкнутыми множества D
i
= D
i
. Пусть в точке (u
i
,v
i
) достига-
ется
max
D
i
|J| = |J(u
i
,v
i
)|, x
i
= x(u
i
,v
i
), y
i
= y(u
i
,v
i
).
Тогда
i
τ
X
i=1
f(x
i
,y
i
)µD
∗
i
=
i
τ
X
i=1
f(x
i
,y
i
)
ZZ
D
i
|J(u,v)|du dv 6
6
i
τ
X
i=1
f[x(u
i
,v
i
), y(u
i
,v
i
)]|J(u
i
,v
i
)|µD
i
.
Переходя к пределу в этом неравенстве для сумм Римана
при |τ| → 0 (а, значит, и |τ
∗
| → 0), приходим к неравенству
(2).
§3. Замена переменных в кратном интеграле                                          15

— разбиения соответственно Q и Q∗ . В силу леммы 2.1, приме-
ненной к отображению F −1 , diamDi 6 KdiamDi∗ при некоторой
постоянной K, откуда
                                   |τ | 6 K|τ ∗ |.                                (13)
   Пусть, далее, ω(f˜,Di ), ω(f,Di∗ ) — колебания функций f˜,f
соответственно на Di ,Di∗ . Тогда
      Xiτ                 X iτ           ZZ
          ω(f,Di∗ )µDi∗ =      ω(f˜,Gi )    |J(u,v)| du dv 6
       i=1                         i=1                 Di
                                    iτ
                                    X
                    6 max |J|              ω(f˜,Di )µDi → 0
                           Q
                                    i=1
при |τ ∗ | → 0, поскольку при этом в силу (13) и |τ | → 0.
   В силу критерия интегрируемости существует интеграл
в левой части (2). Установим теперь само неравенство (2).
Воспользуемся разбиениями (12), в которых будем считать за-
мкнутыми множества Di = Di . Пусть в точке (ui ,vi ) достига-
ется
      max |J| = |J(ui ,vi )|,            xi = x(ui ,vi ),      yi = y(ui ,vi ).
       Di

   Тогда
       iτ
       X                           iτ
                                   X                   ZZ
             f (xi ,yi )µDi∗   =         f (xi ,yi )        |J(u,v)| du dv 6
       i=1                         i=1                 Di
                  iτ
                  X
              6         f [x(ui ,vi ),    y(ui ,vi )]|J(ui ,vi )|µDi .
                  i=1
    Переходя к пределу в этом неравенстве для сумм Римана
при |τ | → 0 (а, значит, и |τ ∗ | → 0), приходим к неравенству
(2).

Страницы