Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5 5. 17
Тогда
lim
h→0
µF (Q
h
)
µQ
h
= |J(t
(◦)
)|
Теорема 4.5. Пусть выполнены условия 1
◦
,2
◦
,3
◦
,G,G
∗
—
открытые измеримые множества, функция f ограничена на
G
∗
,f(x(t))J(t) ограничена на G.
Тогда
Z
G
∗
f(x) dx =
Z
G
f[x(t)]|J(t)|dt,
если хотя бы один из этих интегралов существует.
Следствие 2. Пусть выполнены условия 1
◦
,2
◦
,3
◦
,G,G
∗
—
открытые измеримые множества, якобиан J ограничен на G.
Тогда
µG
∗
=
Z
G
∗
dx =
Z
G
|J(t)|dt,
Д о к а з а т е л ь с т в а теорем и следствия аналогичны
приведенным выше для случая n = 2.
§ 5. Геометрический смысл знака
якобиана отображения
+
6
-
k
j
i
Рис. 2.
Для двух векторов
~a = a
1
i + a
2
j
~
b = b
1
i + b
2
j
из формулы
~a ×
~
b =
a
1
b
1
a
2
b
2
(i × j)
                                   § 5 5.                                       17

   Тогда
                             µF (Qh )
                       lim            = |J(t(◦) )|
                       h→0    µQh

    Теорема 4.5. Пусть выполнены условия 1◦ ,2◦ ,3◦ ,G,G∗ —
открытые измеримые множества, функция f ограничена на
G∗ ,f (x(t))J(t) ограничена на G.
    Тогда          Z          Z
                      f (x) dx =        f [x(t)]|J(t)| dt,
                 G∗                 G
если хотя бы один из этих интегралов существует.

   Следствие 2. Пусть выполнены условия 1◦ ,2◦ ,3◦ ,G,G∗ —
открытые измеримые множества, якобиан J ограничен на G.
Тогда                Z      Z
                      µG∗ =         dx =        |J(t)| dt,
                              G∗            G

   Д о к а з а т е л ь с т в а теорем и следствия аналогичны
приведенным выше для случая n = 2.

           § 5. Геометрический смысл знака
                 якобиана отображения
Для двух векторов
                                                              k   6
                 ~a = a1 i + a2 j
                 ~b = b1 i + b2 j
                                                                            -
                                                               
из формулы                                                                 j
                                                             
                                                        i
                                                       
                                                       +
                       a1 b1
             ~a × ~b =       (i × j)
                       a2 b2                                      Рис. 2.

Страницы