Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16 Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»
Оставшаяся часть доказательства теоремы 3.2 повторяет
соответствующую часть доказательства теоремы 3.1, если ис-
пользовать свойство полной аддитивности интеграла по мно-
жествам в более общей форме. Сформулируем его в виде
леммы.
Лемма 3.7. Пусть G,G
i
— измеримые множества n-
мерного евклидова пространства, G
1
⊂ G
2
⊂ . . . ⊂ G,
µ(G\G
i
) → 0 при i → ∞. Пусть функция f ограничена на
G и интегрируема на любом G
i
.
Тогда f интегрируема на G и
lim
i→∞
Z
G
i
f dx =
Z
G
f dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о леммы предоставляется читателю.
§ 4. Обобщения на n-мерный случай
В этом параграфе через F : x = x(t) обозначим отображе-
ние
R
n
t
⊃
G
откр.
F
G
∗
откр.
⊂ R
n
x
открытого множества G евклидова пространства R
n
t
на откры-
тое множество G
∗
⊂ R
n
x
со свойствами:
1
◦
. F взаимно однозначно отображает G на G
∗
;
2
◦
. F непрерывно дифференцируемо на G;
3
◦
. J(t) =
∂(x
1
, . . . ,x
n
)
∂(t
1
, . . . ,t
n
)
6≡ 0 на G.
Теорема 4.4. Пусть выполнены условия 1
◦
, 2
◦
, 3
◦
, t
(◦)
∈ G,
G ⊃ Q
h
= {t : t
(h)
i
6 t
i
6 t
h
i
+ h, i = 1,2, . . . ,n} 3 t
(◦)
, 0 <
< h 6 h
0
.
16    Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

   Оставшаяся часть доказательства теоремы 3.2 повторяет
соответствующую часть доказательства теоремы 3.1, если ис-
пользовать свойство полной аддитивности интеграла по мно-
жествам в более общей форме. Сформулируем его в виде
леммы.
   Лемма 3.7. Пусть G,Gi — измеримые множества n-
мерного евклидова пространства, G1 ⊂ G2 ⊂ . . . ⊂ G,
µ(G\Gi ) → 0 при i → ∞. Пусть функция f ограничена на
G и интегрируема на любом Gi .
     Тогда f интегрируема на G и
                         Z       Z
                     lim   f dx = f dx.
                           i→∞
                              Gi             G

     Д о к а з а т е л ь с т в о леммы предоставляется читателю.

           § 4. Обобщения на n-мерный случай
   В этом параграфе через F : x = x(t) обозначим отображе-
ние
                                        F
                          Rnt ⊃ G  G∗ ⊂ Rnx
                                откр.       откр.
открытого множества G евклидова пространства Rnt на откры-
тое множество G∗ ⊂ Rnx со свойствами:
1◦ . F взаимно однозначно отображает G на G∗ ;
2◦ . F непрерывно дифференцируемо на G;
             ∂(x , . . . ,x )
3◦ . J(t) = ∂(t1 , . . . ,t n) 6≡ 0 на G.
               1           n

   Теорема 4.4. Пусть выполнены условия 1◦ , 2◦ , 3◦ , t(◦) ∈ G,
               (h)
G ⊃ Qh = {t : ti 6 ti 6 thi + h, i = 1,2, . . . ,n} 3 t(◦) , 0 <
< h 6 h0 .

Страницы