Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

14 Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»
Следствие 1. В условиях теоремы 3.1
µG
∗
=
ZZ
G
∗
1 dx dy =
ZZ
G
∂(x,y)
∂(u,v)
du dv . (11)
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 3.2. Применим (11) к Q
h
.
По теореме о среднем для интеграла имеем
µF (Q
h
) = |J(˜u
h
,˜v
h
)|µQ
h
, G
h
3 (˜u
h
,˜v
h
) → (u
0
,v
0
) при h → 0.
Отсюда следует утверждение теоремы 2.1
Теорема 3.3. Пусть выполнены условия 1
◦
, 2
◦
, 3
◦
тео-
ремы 3.1 и, кроме того, f ограничена на G
∗
, произведение
f[x(u,v), y(u,v)]J (u,v) ограничено на G.
Тогда, если существует один из интегралов в (1), то суще-
ствует и другой, и справедливо равенство (1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим для определенности
лишь случай, когда существует интеграл из правой части (1).
Будем считать, что f > 0, так как общий случай функции
f произвольного знака немедленно сводится к этому с помо-
щью представления f = f
+
− f
−
, где f
+
=
1
2
(|f| + f ) > 0 и
f
−
=
1
2
(|f| − f) > 0. Покажем, что существует интеграл из
левой части (2) и справедливо неравенство (2). Из ограничен-
ности |J|
−1
на Q и существования интеграла в правой части
(2) следует существование интеграла
RR
G
˜
f(u,v) du dv, где
˜
f(u,v) := f [x(u,v), y(u,v)] =
˜
f|J| ·
1
|J|
.
Пусть
τ = τ(Q) = {D
i
}
i
τ
1
, τ
∗
= τ
∗
(Q
∗
) = {D
∗
i
}
i
τ
1
= {F (D
i
)}
i
τ
i=1
(12)
14    Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

     Следствие 1. В условиях теоремы 3.1
                  ZZ           ZZ
              ∗                    ∂(x,y)
           µG =      1 dx dy =            du dv .                        (11)
                                   ∂(u,v)
                         G∗                G

   Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 3.2. Применим (11) к Qh .
По теореме о среднем для интеграла имеем
µF (Qh ) = |J(ũh ,ṽ h )| µQh ,   Gh 3 (ũh ,ṽ h ) → (u0 ,v0 ) при h → 0.
Отсюда следует утверждение теоремы 2.1
   Теорема 3.3. Пусть выполнены условия 1◦ , 2◦ , 3◦ тео-
ремы 3.1 и, кроме того, f ограничена на G∗ , произведение
              f [x(u,v), y(u,v)]J(u,v) ограничено на G.
   Тогда, если существует один из интегралов в (1), то суще-
ствует и другой, и справедливо равенство (1).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим для определенности
лишь случай, когда существует интеграл из правой части (1).
   Будем считать, что f > 0, так как общий случай функции
f произвольного знака немедленно сводится к этому с помо-
                                                         1
щью представления f = f+ − f− , где f+ = 2 (|f | + f ) > 0 и
       1
f− = 2 (|f | − f ) > 0. Покажем, что существует интеграл из
левой части (2) и справедливо неравенство (2). Из ограничен-
ности |J|−1 на Q и существования интеграла    в правой части
(2) следует существование интеграла f˜(u,v) du dv, где
                                     RR
                                                 G
                                                        1
               f˜(u,v) := f [x(u,v), y(u,v)] = f˜|J| ·     .
                                                       |J|
     Пусть
 τ = τ (Q) = {Di }i1τ ,       τ ∗ = τ ∗ (Q∗ ) = {Di∗ }i1τ = {F (Di )}ii=1
                                                                       τ
                                                                          (12)

Страницы