Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12 Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»
Оценивая µF (Q
(k)
) с помощью леммы 2.3, при k → ∞ имеем
[f(x
0
,y
0
) + o(1)] [|J(u
0
,v
0
)| + o(1)] >
> (1 + ε
0
) [f(x
0
,y
0
) + o(1)] [|J(u
0
,v
0
)| + o(1)] ,
что неверно при f > 0, |J| > 0. Этим неравенство (2) устано-
влено.
2-й ш а г . Пусть S
k
= S
k
(G) — внутреннее замкнутое
ступенчатое тело для G. В силу аддитивности интеграла по
множествам интегрирования почленным сложением несколь-
ких неравенств вида (2) получаем, что
Z Z
F (S
k
)
f(x,y) dx dy 6
ZZ
S
k
f[x(u,v), y(u,v )]|J (u,v)|du dv . (5)
3-й ш а г . Установим неравенство
ZZ
G
∗
f(x,y) dx dy 6
ZZ
G
f[x(u,v), y(u,v )]|J (u,v)|du dv . (6)
Для этого заменим правую часть неравенства (5) правой
частью (6) и перейдем к пределу при k → ∞. Остается пока-
зать лишь, что пределом левой части (5) является левая часть
(6). В силу ограниченности подынтегральной функции неко-
торой постоянной M разность левых частей (6) и (5) не пре-
восходит
Mµ (G
∗
\F (S
k
)) = M [µG
∗
− µF (S
k
)] ,
и вопрос сводится к доказательству того, что
µF (S
k
) → µG
∗
при k → ∞. (7)
Для этого достаточно показать, что для каждого m
S
m
(G
∗
) ⊂ F (S
k
(G)) ⊂ G
∗
, ∀k > k(m), (8)
12    Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

     Оценивая µF (Q(k) ) с помощью леммы 2.3, при k → ∞ имеем
                [f (x0 ,y0 ) + o(1)] [|J(u0 ,v0 )| + o(1)] >
         > (1 + ε0 ) [f (x0 ,y0 ) + o(1)] [|J(u0 ,v0 )| + o(1)] ,
что неверно при f > 0, |J| > 0. Этим неравенство (2) устано-
влено.

   2-й ш а г . Пусть Sk = Sk (G) — внутреннее замкнутое
ступенчатое тело для G. В силу аддитивности интеграла по
множествам интегрирования почленным сложением несколь-
ких неравенств вида (2) получаем, что
   Z Z                   ZZ
         f (x,y) dx dy 6    f [x(u,v), y(u,v)]|J(u,v)| du dv . (5)
     F (Sk )                 Sk



     3-й ш а г . Установим неравенство
       ZZ                 ZZ
          f (x,y) dx dy 6    f [x(u,v), y(u,v)]|J(u,v)| du dv .   (6)
        G∗                    G
    Для этого заменим правую часть неравенства (5) правой
частью (6) и перейдем к пределу при k → ∞. Остается пока-
зать лишь, что пределом левой части (5) является левая часть
(6). В силу ограниченности подынтегральной функции неко-
торой постоянной M разность левых частей (6) и (5) не пре-
восходит
                M µ (G∗ \F (Sk )) = M [µG∗ − µF (Sk )] ,
и вопрос сводится к доказательству того, что
                     µF (Sk ) → µG∗ при k → ∞.                    (7)
     Для этого достаточно показать, что для каждого m
               Sm (G∗ ) ⊂ F (Sk (G)) ⊂ G∗ , ∀k > k(m),            (8)

Страницы