Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Геометрический смысл знака якобиана отображения 19
γ
1
= {(u,v) : u = u
1
(t),v = v
1
(t)},
γ
2
= {(u,v) : u = u
2
(t),v = v
2
(t)},
F γ
1
= {(x,y) : x = x
1
(t),y = y
1
(t)},
F γ
2
= {(x,y) : x = x
2
(t),y = y
2
(t)},
где
x
1
(t) := x(u
1
(t),v
1
(t)),y
1
(t) := y(u
1
(t),v
1
(t)),
x
2
(t) := x(u
2
(t),v
2
(t)),y
2
(t) := y(u
2
(t),v
2
(t)).
Будем считать, что в точке пересечения кривых γ
1
и γ
2
зна-
чение параметров t = t
0
. Сравним направление кратчайшего
поворота касательного вектора к γ
1
до касательного вектора к
γ
2
в точке пересечения кривых с соответствующим направле-
нием для их образов F γ
1
,F γ
2
. Преобразуем для э того вектор-
ное произведение касательных векторов.
dx
1
dt
dx
2
dt
dy
1
dt
dy
2
dt
(i × j) =
dx
1
dt
i +
dy
1
dt
j
×
dx
2
dt
i +
dy
2
dt
j
=
= [(x
0
u
u
0
1
+ x
0
v
v
0
1
)i + (y
0
u
u
0
1
+ y
0
v
v
0
1
)j] × [(x
0
u
u
0
2
+ x
0
v
v
0
2
)i+
+(y
0
u
u
0
2
+ y
0
v
v
0
2
)j] = (x
0
u
u
0
1
y
0
v
v
0
2
+ x
0
v
v
0
1
y
0
u
u
0
2
)(i × j)−
−(x
0
u
u
0
2
y
0
v
v
0
1
+ x
0
v
v
0
2
y
0
u
u
0
1
)(i × j) =
= (x
0
u
y
0
v
− x
0
v
y
0
u
)(u
0
1
v
0
2
− v
0
1
u
0
2
)(i × j).
Здесь было учтено, что j × i = −i × j. Сравнивая коэффи-
циенты при i × j в левой и правой частях цепочки равенств,
получаем
dx
1
dt
dx
2
dt
dy
1
dt
dy
2
dt
=
∂(x,y)
∂(u,v)
u
0
1
u
0
2
v
0
1
v
0
2
.
По столбцам определителей стоят координаты касательных
векторов к γ
1
и γ
2
(правый определитель) и к F γ
1
и F γ
2
(левый
определитель). Сравнивая знаки этих определителей, прихо-
§5. Геометрический смысл знака якобиана отображения                                 19

                   γ1     = {(u,v) : u = u1 (t),v       = v1 (t)},
                   γ2     = {(u,v) : u = u2 (t),v       = v2 (t)},
                   F γ1   = {(x,y) : x = x1 (t),y       = y1 (t)},
                   F γ2   = {(x,y) : x = x2 (t),y       = y2 (t)},
где
          x1 (t) := x(u1 (t),v1 (t)),y1 (t) := y(u1 (t),v1 (t)),
          x2 (t) := x(u2 (t),v2 (t)),y2 (t) := y(u2 (t),v2 (t)).
   Будем считать, что в точке пересечения кривых γ1 и γ2 зна-
чение параметров t = t0 . Сравним направление кратчайшего
поворота касательного вектора к γ1 до касательного вектора к
γ2 в точке пересечения кривых с соответствующим направле-
нием для их образов F γ1 ,F γ2 . Преобразуем для этого вектор-
ное произведение касательных векторов.
      dx1 dx2                                      
       dt dt              dx1    dy1      dx2    dy2
              (i × j) =       i+     j ×      i+     j =
      dy1 dy2              dt     dt       dt     dt
       dt dt
      = [(x0u u01 + x0v v10 )i + (yu0 u01 + yv0 v10 )j] × [(x0u u02 + x0v v20 )i+
         +(yu0 u02 + yv0 v20 )j] = (x0u u01 yv0 v20 + x0v v10 yu0 u02 )(i × j)−
                     −(x0u u02 yv0 v10 + x0v v20 yu0 u01 )(i × j) =
            = (x0u yv0 − x0v yu0 )(u01 v20 − v10 u02 )(i × j).
   Здесь было учтено, что j × i = −i × j. Сравнивая коэффи-
циенты при i × j в левой и правой частях цепочки равенств,
получаем
                          dx1 dx2
                           dt dt           ∂(x,y) u01 u02
                                       =                  .
                          dy1 dy2          ∂(u,v) v10 v20
                           dt dt
   По столбцам определителей стоят координаты касательных
векторов к γ1 и γ2 (правый определитель) и к F γ1 и F γ2 (левый
определитель). Сравнивая знаки этих определителей, прихо-

Страницы