Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6 6. 21
§ 6. Условный экстремум
Пусть на открытом множестве G ⊂ R
n
заданы функции
f,ϕ
1
, . . . ,ϕ
m
(1 6 m < n). Уравнения
{ϕ
j
(x) = 0}
m
j=1
(1)
будем называть уравнениями связи. Пусть E := {x : x ∈
∈ G,ϕ
j
(x) = 0,1 6 j 6 m}.
Определение 1. Точка x
◦
∈ E называется точкой услов-
ного минимума [строго условного минимума] функции f при
связях (1), если ∃δ > 0, при котором
f(x
◦
) 6 f(x) [f(x
◦
) < f(x)]
для ∀x ∈ E ∩
◦
U
δ
(x
◦
).
Аналогично определяется точка условного максимума
[строго условного максимума], условного экстремума [строго
условного экстремума].
З а м е ч а н и е о терминологии. Вместо термина «услов-
ный» употребляется также термин «относительный». Ради
краткости вместо «при связях (1)» , будем писать «при (1)».
З а д а ч а. G = R
2
,f(x
1
,x
2
) = x
2
1
+ x
2
2
,m = 1,ϕ(x
1
,x
2
) =
= x
1
+ x
2
− 1. Найти условный экстремум функции f при
x
1
+ x
2
− 1 = 0.
Р е ш е н и е. На прямой ϕ = 0 f (x
1
,x
2
) = f(x
1
,1 −x
1
) = 2x
2
1
−
− 2x
1
+ 1 = 2
x
1
−
1
2
2
+
1
2
. Следовательно, точка
1
2
;
1
2
является точкой строго условного минимума.
В дальнейшем будем считать, что f,ϕ
1
, . . . ,ϕ
m
— непре-
рывно дифференцируемы на G, rang
∂ϕ
j
∂x
i
= m на G,x
◦
∈
                                § 6 6.                               21

                    § 6. Условный экстремум
   Пусть на открытом множестве G ⊂ Rn заданы функции
f,ϕ1 , . . . ,ϕm (1 6 m < n). Уравнения
                            {ϕj (x) = 0}m
                                        j=1                         (1)
будем называть уравнениями связи. Пусть E := {x : x ∈
∈ G,ϕj (x) = 0,1 6 j 6 m}.
   Определение 1. Точка x◦ ∈ E называется точкой услов-
ного минимума [строго условного минимума] функции f при
связях (1), если ∃δ > 0, при котором
                    f (x◦ ) 6 f (x)   [f (x◦ ) < f (x)]
                ◦
для ∀x ∈ E ∩ U δ (x◦ ).
   Аналогично определяется точка условного максимума
[строго условного максимума], условного экстремума [строго
условного экстремума].

З а м е ч а н и е о терминологии. Вместо термина «услов-
ный» употребляется также термин «относительный». Ради
краткости вместо «при связях (1)» , будем писать «при (1)».

З а д а ч а. G = R2 ,f (x1 ,x2 ) = x21 + x22 ,m = 1,ϕ(x1 ,x2 ) =
= x1 + x2 − 1. Найти условный экстремум функции f при
x1 + x2 − 1 = 0.

Р е ш е н и е. На прямой ϕ = 0 f (x1 ,x2 ) = f (x1 ,1 − x1 ) = 2x21 −
                     1 2   1                                   1 1
                                                                 
− 2x1 + 1 = 2 x1 − 2 + 2 . Следовательно, точка 2 ; 2
является точкой строго условного минимума.
   В дальнейшем будем считать, что f,ϕ1 , . . . ,ϕm — непре-
                                                ∂ϕ
рывно дифференцируемы на G, rang ∂xj                      = m на G,x◦ ∈
                                   i

Страницы