Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. Условный экстремум 23
Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем функцию
Φ(x
m+1
, . . . ,x
n
) :=
:= f (µ
1
(x
m+1
, . . . ,x
n
),µ
2
(), . . . ,µ
m
(),x
m+1
, . . . ,x
n
).
Имеем
[x
◦
— точка условного экстремума f при (1)] ⇐⇒
⇐⇒ [(x
◦
m+1
, . . . ,x
◦
n
) — точка (абсолютного) экстремума функ-
ции Φ] =⇒ [dΦ = 0] ⇐⇒
0 =
n
P
1
∂f
∂x
i
dx
i
(1
0
)
=
n
P
1
∂f
∂x
i
dx
i
(3
0
)
=
=
n
P
1
∂f
∂x
i
_
dx
i
=:
_
df
, что и требовалось доказать. Отметим, что
при доказательстве была использована инвариантность формы
первого дифференциала.
Теорема 6.7 (метод множителей Лагранжа). Точка x
◦
∈
∈ E является условно стационарной точкой функции f при (1)
тогда и только тогда, когда существуют числа λ
1
, . . . , λ
m
та-
кие, что x
◦
является стационарной точкой функции Лагранжа
F (x) := f (x) −
m
X
1
λ
j
ϕ
j
(x).
При этом числа λ
j
определяются однозначно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим систему из (m + 1)-го
уравнения
n
P
i=1
∂ϕ
j
∂x
i
dx
i
= 0
m
j=1
n
P
i=1
∂f
∂x
i
dx
i
= 0
. (3
∗
)
Имеем
[x
◦
— условно стационарная точка f при (1)] ⇐⇒ [
_
df= 0] ⇐⇒
⇐⇒ [(3) =⇒ (df = 0)] ⇐⇒ [rang(3) = rang(3
∗
) = m] ⇐⇒
§6. Условный экстремум                                                           23

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем функцию
Φ(xm+1 , . . . ,xn ) :=
                 := f (µ1 (xm+1 , . . . ,xn ),µ2 (), . . . ,µm (),xm+1 , . . . ,xn ).
Имеем
[x◦ — точка условного экстремума f при (1)] ⇐⇒
⇐⇒ [(x◦m+1 , . . . ,x◦n ) — точка
                                 (абсолютного)       экстремума функ-
                                     n                   n
                                    P  ∂f                P ∂f
ции Φ] =⇒ [dΦ = 0] ⇐⇒ 0 =              ∂x
                                           dx i       =    ∂x
                                                               dxi       =
                                     1   i               1   i
                                                (10 )              (30 )
   n
                     
   P ∂f _         _
=    ∂x
        dx  i =:  df    , что и требовалось доказать. Отметим, что
    1    i
при доказательстве была использована инвариантность формы
первого дифференциала.
   Теорема 6.7 (метод множителей Лагранжа). Точка x◦ ∈
∈ E является условно стационарной точкой функции f при (1)
тогда и только тогда, когда существуют числа λ1 , . . . , λm та-
кие, что x◦ является стационарной точкой функции Лагранжа
                                   m
                                   X
                  F (x) := f (x) −   λj ϕj (x).
                                             1
При этом числа λj определяются однозначно.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим систему из (m + 1)-го
уравнения            n                m 
                        P ∂ϕj
                            ∂xi
                                dxi = 0      
                                             
                                             
                       i=1
                          n
                                         j=1   .            (3∗ )
                          P   ∂f
                                 dxi = 0
                                             
                                             
                                   ∂xi
                                             
                             i=1
Имеем                                           _
[x◦ — условно стационарная точка f при (1)] ⇐⇒ [df = 0] ⇐⇒

    ⇐⇒ [(3) =⇒ (df = 0)] ⇐⇒ [rang(3) = rang(3∗ ) = m] ⇐⇒

Страницы