Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. Условный экстремум 25
Следовательно, существенно поведение квадратичной
формы
_
d
2
F :=
n
X
i,k=1
∂
2
F
∂x
i
∂x
k
_
dx
i
_
dx
k
.
Вспоминая достаточные условия (абсолютного) экстре-
мума, приходим к следующей теореме.
Теорема 6.8 (Достаточные условия строгого условного
экстремума). Пусть f,ϕ
1
, . . . ,ϕ
m
дважды непрерывно диффе-
ренцируемы в некоторой окрестности стационарной точки x
◦
функции Лагранжа F .
Тогда:
1) d
2
F > 0[< 0] при |dx| > 0 =⇒ x
◦
— точка строгого услов-
ного минимума [максимума] f при (1);
2) d
2
F > 0[< 0] при |
_
dx | > 0 =⇒ x
◦
— точка строгого
условного минимума [максимума] f при (1);
3) d
2
F — неопределенная квадратичная форма =⇒ ничего
сказать нельзя;
4)
_
d
2
F — неопределенная квадратичная форма =⇒ в точке
x
◦
— нет условного экстремума.
План исследования функции на условный экстремум
методом множителей Лагранжа.
Пусть функции f,ϕ
1
, . . . ,ϕ
m
(1 6 m < n) непрерывно диф-
ференцируемы на открытом множестве G ⊂ R
n
, rang
∂ϕ
j
∂x
i
=
= m на G. Для нахождения точек условного экстремума функ-
ции f при связях (1) поступают так:
1
◦
. Составляют функцию Лагранжа:
F (x) := f(x) −
m
X
1
λ
j
ϕ
j
(x).
§6. Условный экстремум                                      25

   Следовательно,       существенно   поведение   квадратичной
формы
                    _   n
                    2
                        X  ∂2F _ _
                 d F :=           dxi dxk .
                          ∂xi ∂xk
                          i,k=1
   Вспоминая достаточные условия (абсолютного) экстре-
мума, приходим к следующей теореме.
   Теорема 6.8 (Достаточные условия строгого условного
экстремума). Пусть f,ϕ1 , . . . ,ϕm дважды непрерывно диффе-
ренцируемы в некоторой окрестности стационарной точки x◦
функции Лагранжа F .
   Тогда:
  1) d2 F > 0[< 0] при |dx| > 0 =⇒ x◦ — точка строгого услов-
     ного минимума [максимума] f при (1);
                            _
  2) d2 F > 0[< 0] при | dx | > 0 =⇒ x◦ — точка строгого
     условного минимума [максимума] f при (1);
  3) d2 F — неопределенная квадратичная форма =⇒ ничего
     сказать нельзя;
     _
  4) d2 F — неопределенная квадратичная форма =⇒ в точке
     x◦ — нет условного экстремума.
План исследования функции на условный экстремум
методом множителей Лагранжа.
  Пусть функции f,ϕ1 , . . . ,ϕm (1 6 m < n) непрерывно диф-
                                                       ∂ϕ
ференцируемы на открытом множестве G ⊂ Rn , rang ∂xj =
                                                     i
= m на G. Для нахождения точек условного экстремума функ-
ции f при связях (1) поступают так:
 1◦ . Составляют функцию Лагранжа:
                                     m
                                     X
                    F (x) := f (x) −   λj ϕj (x).
                                      1

Страницы