Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

26 Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»
2
◦
. Находят стационарные точки функции Лагранжа, лежа-
щие на E (только они могут являться точками условного
экстремума), т.е. решают систему n + m уравнений
n
∂
∂x
i
F (x) = 0
o
n
1
{ϕ
j
(x) = 0}
m
1
относительно n + m неизвестных
x
1
,x
2
, . . . ,x
n
,λ
1
,λ
2
, . . . ,λ
m
. В каждой из этих точек
множители Лагранжа находятся однозначно
Отметим, что система {ϕ
j
(x) = 0}
m
1
формально может
быть записана в виде
∂
∂λ
j
F (x) = 0
m
1
.
3
◦
. Для каждой стационарной точки x
◦
функции Лагранжа,
в окрестности которой f,ϕ
1
, . . . ,ϕ
m
дважды непрерывно
дифференцируемы, составляют d
2
F и, если потребуется,
_
d
2
F . Применяют теорему 6.3 для выяснения типа услов-
ного экстремума.
4
◦
. Находят значения функции f в точках условного экстре-
мума.
З а д а ч а . Найти точки условного экстремума функции
f(x,y,z) = xyz, если x
2
+ y
2
+ z
2
= 1, x + y + z = 0.
Р е ш е н и е. Здесь ϕ
1
(x,y,z) = x
2
+y
2
+z
2
−1, ϕ
2
(x,y,z) =
= x + y + z. В качестве G можно взять, например,
G =
(x,y,z) : |ϕ
j
(x,y,z)| <
1
2
, j = 1,2
.
Для функции Лагранжа
F (x,y,z) = xyz −λ
1
(x
2
+ y
2
+ z
2
− 1) −λ
2
(x + y + z)
26   Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

 2◦ . Находят стационарные точки функции Лагранжа, лежа-
      щие на E (только они могут являться точками условного
      экстремума), т.е. решают систему n + m уравнений
                                        on 
                            ∂
                         n
                           ∂x
                              F (x) = 0    
                                           
                                 i            1
                                                   
                              {ϕj (x) = 0}m
                                                   
                                                   
                                          1
     относительно                       n     +       m        неизвестных
     x1 ,x2 , . . . ,xn ,λ1 ,λ2 , . . . ,λm .   В каждой из этих точек
     множители Лагранжа находятся однозначно
                                                       m
     Отметим, что система                 {ϕj (x) = 0}1 формально может
                                                   m
                                  ∂
     быть записана в виде        ∂λj
                                     F (x) = 0         .
                                                   1
 3◦ . Для каждой стационарной точки x◦ функции Лагранжа,
      в окрестности которой f,ϕ1 , . . . ,ϕm дважды непрерывно
      дифференцируемы, составляют d2 F и, если потребуется,
      _
      d2 F . Применяют теорему 6.3 для выяснения типа услов-
      ного экстремума.
   ◦
  4 . Находят значения функции f в точках условного экстре-
      мума.
     З а д а ч а . Найти точки условного экстремума функции
f (x,y,z) = xyz, если x2 + y 2 + z 2 = 1, x + y + z = 0.
     Р е ш е н и е. Здесь ϕ1 (x,y,z) = x2 + y 2 + z 2 − 1, ϕ2 (x,y,z) =
= x + y + z. В качестве G можно взять, например,
                                                       
                                           1
             G = (x,y,z) : |ϕj (x,y,z)| < , j = 1,2 .
                                           2
     Для функции Лагранжа


     F (x,y,z) = xyz − λ1 (x2 + y 2 + z 2 − 1) − λ2 (x + y + z)

Страницы