Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. Условный экстремум 27
найдем стационарные точки, удовлетворяющие уравнениям
связи, решив систему уравнений
F
0
x
≡ yz −2λ
1
x − λ
2
= 0
F
0
y
≡ xz −2λ
1
y −λ
2
= 0
F
0
z
≡ xy −2λ
1
z −λ
2
= 0
x
2
+ y
2
+ z
2
− 1 = 0
x + y + z = 0
. (4)
Сложив первые три уравнения, в силу последнего получим
yz + xz + xy −3λ
2
= 0. (5)
Но 2(yz + xz + xy) = (x + y + z)
2
− (x
2
+ y
2
+ z
2
) = 0 − 1, и из
(5) получаем λ
2
= −
1
6
.
Разность первых двух уравнений (4) представляется в виде
(y −x)(z + 2λ
1
) = 0. Аналогично получаем еще два уравнения:
(z −y)(x + 2λ
1
) = 0,(x − z)(y + 2λ
1
) = 0.
Из этих трех уравнений следует (в силу последних двух урав-
нений из (4), что
(y − x)(z −y)(x − z) = 0.
Рассмотрим для определенности лишь случай y − x = 0.
Остальные два рассматриваются аналогично.
В рассматриваемом случае имеются две стационарные
точки, удовлетворяющие уравнениям связи:
x = y = ±
√
6
6
,z = ∓
√
6
3
; при этом λ
1
= ∓
√
6
12
.
Будем исследовать их одновременно.
d
2
F = −2λ
1
(dx
2
+ dy
2
+ dz
2
) + 2z dx dy + 2y dx dz+
+2x dy dz = ±
√
6
6
[dx
2
+ dy
2
+ dz
2
− 4 dx dy + 2 dx dz + 2 dy dz]
§6. Условный экстремум                                          27

найдем стационарные точки, удовлетворяющие уравнениям
связи, решив систему уравнений
                                           
                 Fx0 ≡ yz − 2λ1 x − λ2 = 0 
                                           
                                           
                 Fy0 ≡ xz − 2λ1 y − λ2 = 0 
                                           
                                           
                                           
                   0
                 Fz ≡ xy − 2λ1 z − λ2 = 0 .        (4)
                                           
                       2    2    2
                      x +y +z −1 = 0
                                           
                                           
                                           
                                           
                             x+y+z =0
                                           

Сложив первые три уравнения, в силу последнего получим
                        yz + xz + xy − 3λ2 = 0.                 (5)
Но 2(yz + xz + xy) = (x + y + z)2 − (x2 + y 2 + z 2 ) = 0 − 1, и из
                         1
(5) получаем λ2 = − 6 .
    Разность первых двух уравнений (4) представляется в виде
(y − x)(z + 2λ1 ) = 0. Аналогично получаем еще два уравнения:
           (z − y)(x + 2λ1 ) = 0,(x − z)(y + 2λ1 ) = 0.
Из этих трех уравнений следует (в силу последних двух урав-
нений из (4), что
                        (y − x)(z − y)(x − z) = 0.
   Рассмотрим для определенности лишь случай y − x = 0.
Остальные два рассматриваются аналогично.
   В рассматриваемом случае имеются две стационарные
точки, удовлетворяющие уравнениям связи:
                √          √                     √
                  6          6                     6
       x=y=±        ,z = ∓     ; при этом λ1 = ∓     .
                 6          3                    12
   Будем исследовать их одновременно.
d2 F = −2λ1 (dx2 + dy 2 + dz 2 ) + 2z dx dy + 2y dx dz+
                √
                    6
+2x dy dz = ± 6 [dx2 + dy 2 + dz 2 − 4 dx dy + 2 dx dz + 2 dy dz]

Страницы