Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

24 Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»
⇐⇒
∃λ
1
, . . . ,λ
m
:
∂f
∂x
1
, . . . ,
∂f
∂x
n
=
m
X
j=1
λ
j
∂ϕ
j
∂x
1
, . . . ,
∂ϕ
j
∂x
n
⇐⇒
⇐⇒
grad f =
m
X
j=1
λ
j
grad ϕ
⇐⇒ [grad F = 0].
Следствие 3 (Необходимое условие условного экстре-
мума). Точка x
◦
условного экстремума f при (1) является
стационарной точкой функции Лагранжа F .
Достаточные условия условного экстремума.
Дополнительно будем считать, что f,ϕ
1
, . . . ,ϕ
m
дважды не-
прерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки
x
◦
, где x
◦
— условно стационарная точка f при (1), т.е. ста-
ционарная точка функции Лагранжа из E. Пусть δ > 0 доста-
точно мало,
x ∈ E ∩ U
δ
(x
◦
) =⇒ Φ(x
m+1
, . . . ,x
n
) = f(x)|
(1
0
)
=
=
f(x) −
n
X
j=1
λ
j
ϕ
j
(x)
(1
0
)
=: F (x)
(1
0
)
.
Вычислим dΦ, d
2
Φ в точке x
◦
, считая x
m+1
, . . . , x
n
независи-
мыми переменными.
dΦ =
n
P
i=1
∂F
∂x
i
dx
i
(1
0
)
,
d
2
Φ =
n
P
i,k=1
∂
2
F
∂x
i
∂x
k
dx
i
dx
k
(1
0
)
+
n
P
i=1
∂F
∂x
i
d
2
x
i
(1
0
)
=
=
n
P
i,k
∂
2
F
∂x
i
∂x
k
_
dx
i
_
dx
k
.
24   Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»
                                                                                                        
                                                           m                                      
                                ∂f        ∂f                 X               ∂ϕj       ∂ϕj 
⇐⇒∃λ1 , . . . ,λm :                ,...,             =             λj           ,...,      ⇐⇒
                                ∂x1       ∂xn                                ∂x1       ∂xn
                                                      j=1
                                     m
                                     X
          ⇐⇒ grad f =                       λj grad ϕ ⇐⇒ [grad F = 0].
                                     j=1

   Следствие 3 (Необходимое условие условного экстре-
мума). Точка x◦ условного экстремума f при (1) является
стационарной точкой функции Лагранжа F .
Достаточные условия условного экстремума.
     Дополнительно будем считать, что f,ϕ1 , . . . ,ϕm дважды не-
прерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки
x◦ , где x◦ — условно стационарная точка f при (1), т.е. ста-
ционарная точка функции Лагранжа из E. Пусть δ > 0 доста-
точно мало,
         x ∈ E ∩ Uδ (x◦ ) =⇒ Φ(xm+1 , . . . ,xn ) = f (x)|(10 ) =
                                     
                          Xn
             = f (x) −      λj ϕj (x)       =: F (x)     .
                                     j=1                   (10 )                 (10 )

Вычислим dΦ, d2 Φ в точке x◦ , считая xm+1 , . . . , xn независи-
мыми переменными.

                    n
                    P ∂F
         dΦ =            ∂xi
                               dxi           ,
                   i=1               (10 )
                        n                                          n
                             ∂2F                                     ∂F
         d2 Φ =                                                                d2 xi
                        P                                          P
                            ∂xi ∂xk
                                    dxi dxk                +             ∂xi
                                                                                                 =
                    i,k=1                                          i=1                   (10 )
                                                   (10 )
             n                 _ _
             P ∂2F
         =         ∂xi ∂xk
                           dxi dxk .
             i,k

Страницы