Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

22 Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»
∈ E,
∂(ϕ
1
, . . . ,ϕ
m
)
∂(x
1
, . . . ,x
m
)
x
0
6≡ 0. Тогда по теореме о системе неявных
функций в некоторой окрестности U (x
◦
) (1) ⇐⇒ (1
0
), где
{x
j
= µ
j
(x
m+1
, . . . ,x
n
)}
m
j=1
, (1
0
)
причем µ
j
— непрерывно дифференцируемы
{ϕ
j
(µ
1
(x
m+1
, . . . ,x
n
),µ
2
(), . . . ,µ
m
(),x
m+1
, . . . ,x
n
) = 0}
m
j=1
. (2)
Отметим эквивалентность систем линейных уравнений от-
носительно дифференциалов: (3) ⇐⇒ (3
0
), где
(
n
X
i=1
∂ϕ
j
∂x
i
dx
i
= 0
)
m
j=1
, (3)
(
dx
j
=
n
X
i=m+1
∂µ
j
∂x
i
dx
i
)
m
j=1
, (3
0
)
с коэффициентами, взятыми в точке x
◦
. В самом деле, при лю-
бых фиксированных dx
m+1
, . . . ,dx
n
решение (3) единственно,
так как ее определитель отличен от нуля; решение (3
0
) также,
очевидно, единственно. В то же время решение (3
0
) удовле-
творяет (3), так как результат подстановки решения (3
0
) в (3)
совпадает с дифференцированием тождеств (2).
Определение 2. Через
_
dx
1
, . . . ,
_
dx
n
будем обозначать
дифференциалы, удовлетворяющие системам (3), (3
0
).
Определение 3. Точка x
◦
∈ E называется условно ста-
ционарной точкой функции f при (1), если
_
df:=
n
P
i=1
∂f
∂x
i
_
dx
i
= 0.
Теорема 6.6 (Необходимое условие условного экстре-
мума). Точка x
◦
условного экстремума f при (1) является
условно стационарной точкой f при (1).
22   Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

     ∂(ϕ , . . . ,ϕ )
∈ E, ∂(x1 , . . . ,x m)  6≡ 0. Тогда по теореме о системе неявных
        1           m x0
функций в некоторой окрестности U (x◦ ) (1) ⇐⇒ (10 ), где
                        {xj = µj (xm+1 , . . . ,xn )}m
                                                     j=1 ,                  (10 )
причем µj — непрерывно дифференцируемы
 {ϕj (µ1 (xm+1 , . . . ,xn ),µ2 (), . . . ,µm (),xm+1 , . . . ,xn ) = 0}m
                                                                        j=1 . (2)
   Отметим эквивалентность систем линейных уравнений от-
носительно дифференциалов: (3) ⇐⇒ (30 ), где
                  ( n             )m
                   X ∂ϕj
                           dxi = 0      ,             (3)
                       ∂xi
                   i=1              j=1
                (        n
                                     )m
                        X ∂µj
                 dxj =           dxi      ,          (30 )
                             ∂xi
                                  i=m+1             j=1
с коэффициентами, взятыми в точке x◦ . В самом деле, при лю-
бых фиксированных dxm+1 , . . . ,dxn решение (3) единственно,
так как ее определитель отличен от нуля; решение (30 ) также,
очевидно, единственно. В то же время решение (30 ) удовле-
творяет (3), так как результат подстановки решения (30 ) в (3)
совпадает с дифференцированием тождеств (2).
                                        _            _
   Определение 2. Через dx1 , . . . , dxn будем обозначать
дифференциалы, удовлетворяющие системам (3), (3 0 ).

   Определение 3. Точка x◦ ∈ E называется условно ста-
                                         _     n
                                               P ∂f _
ционарной точкой функции f при (1), если df :=   ∂x
                                                    dxi = 0.
                                                              i=1    i



   Теорема 6.6 (Необходимое условие условного экстре-
мума). Точка x◦ условного экстремума f при (1) является
условно стационарной точкой f при (1).

Страницы