Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

20 Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»
дим к выводу: при
∂(x,y)
∂(u,v)
> 0 [< 0] направление кратчайшего
поворота от первого касательного вектора ко второму после
отображения сохраняется [меняется на противоположное].
Пусть теперь гладкая кривая γ
1
является частью границы
некоторой области Ω, замыкание которой содержится в G.
Пусть γ
1
ориентирована положительно относительно Ω. Срав-
ним ориентацию γ
1
относительно Ω и ориентацию Γ
1
= F (γ
1
)
относительно F (Ω). Возьмем кривую γ
2
, пересекающую γ
1
, с
касательным вектором в точке пересечения, направленным по
нормали к γ
1
внутрь Ω. Из предыдущего видно, что возможны
случаи:
Γ
1
Γ
2
x
y
J < 0
Γ
1
Γ
2
x
y
J > 0
γ
1
γ
2
u
v
Γ
i
= F (γ
i
)
Рис. 4
Тем самым приходим к окончательной формулировке. Гео-
метрический смысл знака якобиана состоит в следующем.
При положительном якобиане сохраняется после отобра-
жения направление кратчайшего поворота от одной из пере-
секающихся кривых до другой, а также ориентация кривой,
являющейся частью границы области Ω, относительно Ω.
При отрицательном якобиане указанные направления
кратчайшего поворота и ориентация относительно области
меняется на противоположные.
20   Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

                      ∂(x,y)
дим к выводу: при ∂(u,v) > 0 [< 0] направление кратчайшего
поворота от первого касательного вектора ко второму после
отображения сохраняется [меняется на противоположное].
   Пусть теперь гладкая кривая γ1 является частью границы
некоторой области Ω, замыкание которой содержится в G.
Пусть γ1 ориентирована положительно относительно Ω. Срав-
ним ориентацию γ1 относительно Ω и ориентацию Γ1 = F (γ1 )
относительно F (Ω). Возьмем кривую γ2 , пересекающую γ1 , с
касательным вектором в точке пересечения, направленным по
нормали к γ1 внутрь Ω. Из предыдущего видно, что возможны
случаи:


 v                        y                  y
                                        Γ1
        γ2           γ1        Γ2                Γ2

                                                      Γ1
                      u                  x                 x
      Γi = F (γi )             J >0              J <0
                               Рис. 4

   Тем самым приходим к окончательной формулировке. Гео-
метрический смысл знака якобиана состоит в следующем.
   При положительном якобиане сохраняется после отобра-
жения направление кратчайшего поворота от одной из пере-
секающихся кривых до другой, а также ориентация кривой,
являющейся частью границы области Ω, относительно Ω.
   При отрицательном якобиане указанные направления
кратчайшего поворота и ориентация относительно области
меняется на противоположные.

Страницы