Кратные интегралы, условный экстремум. Бесов О.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6 Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»
3
◦
. J(u,v) :=
∂(x,y)
∂(u,v)
6= 0 на G.
Лемма 2.4.
∗)
Пусть квадрат
Q := {(u,v) : u
0
6 u 6 u
0
+ h, v
0
6 v 6 v
0
+ h} ⊂ G,
κ := max
Q
max
|x
0
u
|, |x
0
v
|, |y
0
u
, |y
0
v
|
.
Тогда F удовлетворяет условию Липшица на Q с постоян-
ной 2κ, т.е. для любых двух точек (u
1
,v
1
), (u
2
,v
2
) ∈ Q
|F (u
2
,v
2
) − F (u
1
,v
1
)| 6 2κ |(u
2
,v
2
) − (u
1
,v
1
)| =
= 2κ
p
(u
2
− u
1
)
2
+ (v
2
− v
1
)
2
. (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (x
i
,y
i
) = F (u
i
,v
i
), i = 1,2.
Тогда в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях
|x
2
− x
1
| = |x [u
1
+ t(u
2
− u
1
), v
1
+ t(v
2
− v
1
)]|
1
t=0
| =
=
x
0
u
(˜u,˜v)(u
2
− u
1
) + x
0
v
(˜u,˜v)(v
2
− v
1
)
6
6
√
2κ
p
(u
2
− u
1
)
2
+ (v
2
− v
1
)
2
.
Аналогично
|y
2
− y
1
| 6
√
2κ
p
(u
2
− u
1
)
2
+ (v
2
− v
1
)
2
.
Из двух последних оценок следует (2).
Лемма 2.5. Пусть ограниченное множество E ⊂ E ⊂ G,
Q := {(u,v) : u
0
6 u 6 u
0
+ h, v
0
6 v 6 v
0
+ h} ⊂ G.
Тогда:
1
◦
. ∂F (E) = F (∂E),
2
◦
. F (Q) — замкнутое измеримое множество,
3
◦
. Если µE = 0, то µF (E) = 0,
4
◦
. Если E — измеримо, то F (E) измеримо.
∗)
Используется лишь при доказательстве теоремы 3.3
6         Бесов О.В. «Кратные интегралы, условный экстремум»

                      ∂(x,y)
    3◦ . J(u,v) := ∂(u,v) 6= 0 на G.

         Лемма 2.4.      ∗)   Пусть квадрат
          Q := {(u,v) : u0 6 u 6 u0 + h, v0 6 v 6 v0 + h} ⊂ G,
                  κ := max max |x0u |, |x0v |, |yu0 , |yv0 | .
                                   
                              Q
   Тогда F удовлетворяет условию Липшица на Q с постоян-
ной 2κ, т.е. для любых двух точек (u1 ,v1 ), (u2 ,v2 ) ∈ Q
               |F (u2 ,v2 ) − F (u1 ,v1 )| 6 2κ |(u2 ,v2 ) − (u1 ,v1 )| =
                               p
                          = 2κ (u2 − u1 )2 + (v2 − v1 )2 .                     (2)
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (xi ,yi ) = F (ui ,vi ), i = 1,2.
Тогда в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях
          |x2 − x1 | = |x [u1 + t(u2 − u1 ),      v1 + t(v2 − v1 )]|1t=0 | =
                = x0u (ũ,ṽ)(u2 − u1 ) + x0v (ũ,ṽ)(v2 − v1 ) 6
                        √ p
                     6 2κ (u2 − u1 )2 + (v2 − v1 )2 .
         Аналогично
                              √ p
                |y2 − y1 | 6 2κ (u2 − u1 )2 + (v2 − v1 )2 .
         Из двух последних оценок следует (2).
         Лемма 2.5. Пусть ограниченное множество E ⊂ E ⊂ G,
          Q := {(u,v) : u0 6 u 6 u0 + h,          v0 6 v 6 v0 + h} ⊂ G.
       Тогда:
    1◦ . ∂F (E) = F (∂E),
    2◦ . F (Q) — замкнутое измеримое множество,
    3◦ . Если µE = 0, то µF (E) = 0,
    4◦ . Если E — измеримо, то F (E) измеримо.
    ∗)
         Используется лишь при доказательстве теоремы 3.3

Страницы