Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.2. Пространства CL
1
, CL
2
, RL
1
, RL
2
, L
1
, L
2
149
Положим
k˜xk
e
L
1
([a,b])
B kxk
L
1
([a,b])
=
Z
b
a
|x(t)|dt,
где x ∈ ˜x. Нетрудно проверить, что k˜xk
e
L
1
([a,b])
является нормой
в
g
RL
1
([a, b]).
Пример 5. RL
2
((a, b)) — полунормированное простран-
ство определенных на интервале (a, b) ⊂ (−∞, +∞) функций
x: (a, b) → R со сходящимся интегралом
R
b
a
|x(t)|
2
dt, понима-
емым как несобственный с конечным числом особенностей, и
интегрируемых по Риману на каждом отрезке из (a, b), не со-
держащем особенностей. При этом
kxk = kxk
L
2
((a,b))
B
s
Z
b
a
|x(t)|
2
dt. (2)
Аналогично тому, как это сделано при рассмотрении при-
мера 4, можно построить фактор-пространство
g
RL
2
((a, b)) про-
странства RL
2
((a, b)), состоящее из классов функций, причем
две функции x, y входят в один и тот же класс (называются
эквивалентными, отождествляются, не различаются), если
Z
b
a
|x(t) − y(t)|
2
dt = 0.
Операции сложения и умножения на число λ ∈ R вводятся
в
g
RL
2
([a, b]) так же, как в примере 3. Построенное фактор-
пространство является линейным нормированным простран-
ством с нормой
k˜xk
e
L
2
((a,b))
B kxk
L
2
((a,b))
=
s
Z
b
a
|x(t)|
2
dt,
где x — произвольная функция из ˜x (x ∈ ˜x). Нулевым элемен-
том
~
0 пространства
g
RL
2
((a, b)) является множество функций
θ ∈ RL
2
((a, b)), для которых
R
b
a
|θ(t)|
2
dt = 0.
Пространства CL
p
([a, b]), C
0
L
p
((a, b)), p = 1, 2, из приме-
ров 1–3 не являются полными. Покажем это на примере про-
       § 25.2. Пространства CL1 , CL2 , RL1 , RL2 , L1 , L2           149

   Положим
                                                 Z   b
             kx̃kLe1 ([a,b]) B kxkL1 ([a,b]) =           |x(t)| dt,
                                                 a
где x ∈ x̃. Нетрудно проверить, что kx̃kLe1 ([a,b]) является нормой
в RL
  g1 ([a, b]).
   Пример 5. RL2 ((a, b)) — полунормированное простран-
ство определенных на интервале (a, b) ⊂ (−∞, +∞) функций
                                             Rb
x: (a, b) → R со сходящимся интегралом a |x(t)|2 dt, понима-
емым как несобственный с конечным числом особенностей, и
интегрируемых по Риману на каждом отрезке из (a, b), не со-
держащем особенностей. При этом
                                    s
                                      Z b
              kxk = kxkL2 ((a,b)) B       |x(t)|2 dt.    (2)
                                             a

   Аналогично тому, как это сделано при рассмотрении при-
мера 4, можно построить фактор-пространство RL  g2 ((a, b)) про-
странства RL2 ((a, b)), состоящее из классов функций, причем
две функции x, y входят в один и тот же класс (называются
эквивалентными, отождествляются, не различаются), если
                     Z b
                         |x(t) − y(t)|2 dt = 0.
                        a
Операции сложения и умножения на число λ ∈ R вводятся
в RL
  g2 ([a, b]) так же, как в примере 3. Построенное фактор-
пространство является линейным нормированным простран-
ством с нормой
                                             s
                                               Z b
           kx̃kLe2 ((a,b)) B kxkL2 ((a,b)) =       |x(t)|2 dt,
                                                     a

где x — произвольная функция из x̃ (x ∈ x̃). Нулевым элемен-
том ~0 пространства RL  g2 ((a, b)) является множество функций
                                Rb
θ ∈ RL2 ((a, b)), для которых a |θ(t)|2 dt = 0.
   Пространства CLp ([a, b]), C0 Lp ((a, b)), p = 1, 2, из приме-
ров 1–3 не являются полными. Покажем это на примере про-

Страницы