Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

148 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
З а м е ч а н и е 1. Отметим без доказательства
следующие два свойства интегрируемой по Риману функции:
1.
◦
ограниченная функция θ: [α, β] → R интегрируема по
Риману на [α, β] тогда и только тогда, когда множество
ее точек разрыва имеет ле бегову меру нуль, т. е. может
быть покрыто объединением счетного числа интервалов
сколь угодно малой суммарной длины;
2.
◦
для интегрируемой по Риману на [α, β] функции θ усло-
вие
R
β
α
|θ(t)|dt = 0 эквивалентно тому, что θ(t) = 0 в
каждой точке t непрерывности функции θ.
Для множества функций RL
1
((a, b)) можно построить дру-
гое линейное пространство
g
RL
1
((a, b)), которое уже окажется
нормированным с помощью интеграла (1).
Две функции x, y ∈ RL
1
((a, b)) назовем эквивалентными,
если
R
b
a
|x(t) −y(t)|dt = 0. Таким образом, линейное простран-
ство RL
1
((a, b)) разбивается на классы эквивалентных функ-
ций. В силу замечания 1 две эквивалентные функции «мало»
отличаются друг от друга: их значения могут быть различны
лишь на множестве точек нулевой лебеговой меры.
Совокупность всех таких классов называется фактор-
пространством пространства RL
1
((a, b)). Обозначим его че-
рез
g
RL
1
((a, b)). Превратим его в линейное пространство, введя
операции сложения и умножения на действительное число сле-
дующим образом. Пусть ˜x, ˜y — два класса из
g
RL
1
((a, b)), а x
(∈ ˜x), y (∈ ˜y) — два каких-либо из их представителей. Суммой
˜x + ˜y классов ˜x, ˜y назовем тот класс ˜z, который содержит x +
+ y, а произведением λ˜x класса ˜x на число λ ∈ R — тот класс,
который содержит λx. Легко проверить независимость суммы
и произведения от выбора представителей и выполнения для
g
RL
1
([a, b]) всех аксиом линейного пространства.
Нулевым элементом
~
0 пространства
g
RL
1
((a, b)) является
множество абсолютно интегрируемых на (a, b) функций θ, для
которых
R
b
a
|θ(t)|dt = 0.
148 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

   З а м е ч а н и е 1. Отметим без доказательства
следующие два свойства интегрируемой по Риману функции:
    1.◦ ограниченная функция θ: [α, β] → R интегрируема по
        Риману на [α, β] тогда и только тогда, когда множество
        ее точек разрыва имеет лебегову меру нуль, т. е. может
        быть покрыто объединением счетного числа интервалов
        сколь угодно малой суммарной длины;
    2.◦ для интегрируемой по Риману на [α, β] функции θ усло-
            Rβ
        вие α |θ(t)| dt = 0 эквивалентно тому, что θ(t) = 0 в
        каждой точке t непрерывности функции θ.
   Для множества функций RL1 ((a, b)) можно построить дру-
гое линейное пространство RL
                          g1 ((a, b)), которое уже окажется
нормированным с помощью интеграла (1).
   Две функции x, y ∈ RL1 ((a, b)) назовем эквивалентными,
     Rb
если a |x(t) − y(t)| dt = 0. Таким образом, линейное простран-
ство RL1 ((a, b)) разбивается на классы эквивалентных функ-
ций. В силу замечания 1 две эквивалентные функции «мало»
отличаются друг от друга: их значения могут быть различны
лишь на множестве точек нулевой лебеговой меры.
    Совокупность всех таких классов называется фактор-
пространством пространства RL1 ((a, b)). Обозначим его че-
рез RL
     g1 ((a, b)). Превратим его в линейное пространство, введя
операции сложения и умножения на действительное число сле-
дующим образом. Пусть x̃, ỹ — два класса из RL     g1 ((a, b)), а x
(∈ x̃), y (∈ ỹ) — два каких-либо из их представителей. Суммой
x̃ + ỹ классов x̃, ỹ назовем тот класс z̃, который содержит x +
+ y, а произведением λx̃ класса x̃ на число λ ∈ R — тот класс,
который содержит λx. Легко проверить независимость суммы
и произведения от выбора представителей и выполнения для
RL
 g1 ([a, b]) всех аксиом линейного пространства.

   Нулевым элементом ~0 пространства RL
                                      g1 ((a, b)) является
множество абсолютно интегрируемых на (a, b) функций θ, для
        Rb
которых a |θ(t)| dt = 0.

Страницы