Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

146 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
ных последовательностей. Аналогично введем понятие рассто-
яния между «идеальным» элементом и рациональным числом.
Объединение R и множества полученных «идеальных» эле-
ментов обозначим через R
∗
. Наделенное введенным расстоя-
нием, оно является искомым пополнением метрического про-
странства R.
Определение 10. Пусть R — нормированное простран-
ство, x, x
k
∈ R ∀k ∈ N. Будем говорить, что ряд
∞
P
k=1
x
k
схо-
дится к x, если lim
n→∞
n
P
k=1
x
k
= x, где предел понимается в смысле
сходимости по норме, т. е. если
lim
n→∞
x −
n
X
k=1
x
k
= 0.
§ 25.2. Пространства CL
1
, CL
2
, RL
1
, RL
2
, L
1
, L
2
Если в аксиомах нормы из определения 25.1.3 снять тре-
бование kxk = 0 ⇒ x = 0, то kxk будет называться полунор-
мой, а определение нормированного пространства превратится
в определение полунормированного пространства. На полунор-
мированные пространства дословно переносятся понятия пре-
дельного перехода, замыкания множества, плотности множе-
ства, полноты пространства и другие.
Рассмотрим примеры нормированных и полунормирован-
ных пространств, норма (полунорма) которых задается с по-
мощью интегралов.
Пример 1. CL([a, b]) = CL
1
([a, b]) — линейное простран-
ство непрерывных на отрезке [a, b] функций с нормой
kxk = kxk
L([a,b])
=
Z
b
a
|x(t)|dt.
146 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

ных последовательностей. Аналогично введем понятие рассто-
яния между «идеальным» элементом и рациональным числом.
   Объединение R и множества полученных «идеальных» эле-
ментов обозначим через R∗ . Наделенное введенным расстоя-
нием, оно является искомым пополнением метрического про-
странства R.

   Определение 10. Пусть R — нормированное простран-
                                                 ∞
                                                 P
ство, x, xk ∈ R ∀ k ∈ N. Будем говорить, что ряд   xk схо-
                                                             k=1
                      n
                      P
дится к x, если lim       xk = x, где предел понимается в смысле
               n→∞ k=1
сходимости по норме, т. е. если
                                 n
                                 X
                      lim   x−         xk = 0.
                      n→∞
                                 k=1




§ 25.2. Пространства CL1 , CL2 , RL1 , RL2 , L1 , L2
    Если в аксиомах нормы из определения 25.1.3 снять тре-
бование kxk = 0 ⇒ x = 0, то kxk будет называться полунор-
мой, а определение нормированного пространства превратится
в определение полунормированного пространства. На полунор-
мированные пространства дословно переносятся понятия пре-
дельного перехода, замыкания множества, плотности множе-
ства, полноты пространства и другие.
   Рассмотрим примеры нормированных и полунормирован-
ных пространств, норма (полунорма) которых задается с по-
мощью интегралов.
   Пример 1. CL([a, b]) = CL1 ([a, b]) — линейное простран-
ство непрерывных на отрезке [a, b] функций с нормой
                                       Z    b
                kxk = kxkL([a,b]) =             |x(t)| dt.
                                        a

Страницы