Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 144 стр.

144 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

последовательность {xk }∞k=1 сходится к точке x0 , то и всякая
ее подпоследовательность сходится к x0 .
    С использованием понятия предела последовательности
можно дать эквивалентное определение предельной точки мно-
жества: точка a ∈ R называется предельной точкой множества
E ⊂ R, если существует последовательность {xk }∞   k=1 , xk ∈ E,
xk 6= a ∀ k ∈ N, сходящаяся к a (доказать эту эквивалентность
в качестве упражнения).
   Определение 6. Последовательность {xk } точек R назы-
вается фундаментальной, если
        ∀ε > 0   ∃ nε ∈ N : kxk − xj k < ε ∀ k, j > nε .
   Всякая сходящаяся последовательность является, очевидно,
фундаментальной, но не наоборот.
   Определение 7. Нормированное пространство R назы-
вается полным, если всякая фундаментальная последователь-
ность его точек является сходящейся, т. е. имеет в R предел.
   Ранее было установлено (критерий Коши), что линейные
нормированные пространства R, Rn из примеров 1, 2 являются
полными.
   Из теоремы 16.1.1 и теоремы 17.3.1 следует, что простран-
ство C([a, b]) из примера 3 является полным.
   Полное нормированное пространство называется банахо-
вым пространством.
   Определение 8. Пусть A ⊂ B ⊂ R. Множество A назы-
вается плотным в B, если A ⊃ B.
   Теорему 24.3.3 (Вейерштрасса) можно переформулировать
следующим образом: множество всех алгебраических много-
членов плотно в пространстве C([a, b]).
   Если пространство R не полно, то его всегда можно попол-
нить, т. е. «экономно» включить некоторым (и, по существу,
единственным) способом в полное пространство.
   Определение 9. Пусть R — нормированное простран-
ство. Полное нормированное пространство R∗ называется по-
полнениемпространства R, если