Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.1. Метрические и нормированные пространства 143
Объединение множества E ⊂ R и множества всех предель-
ных множества E называется замыканиеммножества E и обо-
значается символом E.
Операцией замыкания (замыканием) множества E ⊂ R на-
зывается переход от множества E к его замыканию E.
Множество E ⊂ R называется замкнутым, если оно содер-
жит все свои предельные точки, т. е. если E = E.
Замыкание E множества E ⊂ R является замкнутым мно-
жеством (доказательство то же, что и в случае R = R
n
).
Пересечение любого числа и объединение конечного числа
замкнутых множеств суть замкнутые множества (доказатель-
ство то же, что и в случае R = R
n
).
Точка x называется внутренней точкой множества E ⊂ R,
если существует окрестность U
ε
(x) этой точки, содержащаяся
в E.
Множество, все точки которого внутренние, называется
открытым.
Объединение любого числа и пересечение конечного числа
открытых множеств суть открытые множества (доказатель-
ство то же, что и в случае R = R
n
).
Для того чтобы множество E было открытым, необходимо
и достаточно, чтобы его дополнение R \ E до всего простран-
ства R было замкнутым (доказать в качестве упражнения).
Определение 5. Говорят, что последовательность {x
k
}
∞
i=1
точек R сходится к точке x
0
∈ R, если
lim
k→∞
kx
k
− x
0
k = 0.
Точку x
0
называют при этом пределом последовательности
{x
k
} и пишут lim
k→∞
x
k
= x
0
.
Такую сходимость часто называют сходимостью по норме.
Это определение можно сформулировать еще и следующим
образом: последовательность {x
k
}
∞
k=1
сходится к x
0
, если
∀ε > 0 ∃n
ε
∈ N : x
n
∈ U
ε
(x
0
) (т. е. kx
n
−x
0
k < ε) ∀n > n
ε
.
Из определения предела следует, что никакая последова-
тельность не может иметь двух различных пределов и что если
      § 25.1. Метрические и нормированные пространства         143

   Объединение множества E ⊂ R и множества всех предель-
ных множества E называется замыканиеммножества E и обо-
значается символом E.
   Операцией замыкания (замыканием) множества E ⊂ R на-
зывается переход от множества E к его замыканию E.
   Множество E ⊂ R называется замкнутым, если оно содер-
жит все свои предельные точки, т. е. если E = E.
   Замыкание E множества E ⊂ R является замкнутым мно-
жеством (доказательство то же, что и в случае R = Rn ).
   Пересечение любого числа и объединение конечного числа
замкнутых множеств суть замкнутые множества (доказатель-
ство то же, что и в случае R = Rn ).
   Точка x называется внутренней точкой множества E ⊂ R,
если существует окрестность Uε (x) этой точки, содержащаяся
в E.
   Множество, все точки которого внутренние, называется
открытым.
   Объединение любого числа и пересечение конечного числа
открытых множеств суть открытые множества (доказатель-
ство то же, что и в случае R = Rn ).
   Для того чтобы множество E было открытым, необходимо
и достаточно, чтобы его дополнение R \ E до всего простран-
ства R было замкнутым (доказать в качестве упражнения).
   Определение 5. Говорят, что последовательность {xk }∞
                                                       i=1
точек R сходится к точке x0 ∈ R, если
                       lim kxk − x0 k = 0.
                      k→∞
Точку x0 называют при этом пределом последовательности
{xk } и пишут lim xk = x0 .
               k→∞
   Такую сходимость часто называют сходимостью по норме.
   Это определение можно сформулировать еще и следующим
образом: последовательность {xk }∞
                                 k=1 сходится к x0 , если
∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N : xn ∈ Uε (x0 )   (т. е. kxn −x0 k < ε) ∀ n > nε .
   Из определения предела следует, что никакая последова-
тельность не может иметь двух различных пределов и что если

Страницы