Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.1. Метрические и нормированные пространства 141
Определение 4. Линейное пространство R называется
нормированным пространством, если каждому элементу x ∈
∈ R поставлено в соответствие действительное неотрицатель-
ное число kxk > 0, называемое нормой элемента x и удовле-
творяющее следующим условиям (аксиомам):
1.
◦
kxk > 0, kxk = 0 ⇐⇒ x =
~
0;
2.
◦
kλxk = |λ|kxk ∀x ∈ R, ∀λ ∈ R (C);
3.
◦
kx + yk 6 kxk + kyk ∀x, y ∈ R (неравенство треуголь-
ника).
Всякое нормированное пространство является метрическим
пространством с расстоянием
ρ(x, y) B kx − yk.
Обратное неверно уже потому, что произвольное метриче-
ское пространство не обязательно линейно (не обязательно вве-
дены понятия суммы элементов и произведения элемента на
число). Даже в линейном метрическом пространстве R ρ(x, 0)
не обязательно является нормой элемента x ∈ R. В послед-
нем можно убедиться на примере линейного метрического про-
странства числовых последовательностей.
x = {ξ
i
}
∞
i=1
, ξ
i
∈ R,
в котором при x = {ξ
i
}
∞
i=1
, y = {η
i
}
∞
i=1
, λ ∈ R
x + y B {ξ
i
+ η
i
}
∞
i=1
, λx = {λξ
i
}
∞
i=1
,
ρ(x, y) =
∞
X
i=1
1
2
i
|ξ
i
− η
i
|
1 + |ξ
i
− η
i
|
.
Приведем примеры нормированных пространств.
Пример 1. Пространства R, C (действительных или ком-
плексных чисел) с нормой
kxk = |x|.
Пример 2. Пространство R
n
с нормой
kxk =
v
u
u
t
n
X
i=1
x
2
i
, (x = (x
1
, . . . , x
n
)),
     § 25.1. Метрические и нормированные пространства       141

   Определение 4. Линейное пространство R называется
нормированным пространством, если каждому элементу x ∈
∈ R поставлено в соответствие действительное неотрицатель-
ное число kxk > 0, называемое нормой элемента x и удовле-
творяющее следующим условиям (аксиомам):
   1.◦ kxk > 0, kxk = 0 ⇐⇒ x = ~0;
   2.◦ kλxk = |λ|kxk ∀ x ∈ R, ∀ λ ∈ R (C);
   3.◦ kx + yk 6 kxk + kyk ∀ x, y ∈ R (неравенство треуголь-
       ника).
   Всякое нормированное пространство является метрическим
пространством с расстоянием
                        ρ(x, y) B kx − yk.
   Обратное неверно уже потому, что произвольное метриче-
ское пространство не обязательно линейно (не обязательно вве-
дены понятия суммы элементов и произведения элемента на
число). Даже в линейном метрическом пространстве R ρ(x, 0)
не обязательно является нормой элемента x ∈ R. В послед-
нем можно убедиться на примере линейного метрического про-
странства числовых последовательностей.
                      x = {ξi }∞
                               i=1 ,     ξi ∈ R,
в котором при x =   {ξi }∞
                         i=1 ,   y = {ηi }∞
                                          i=1 , λ ∈ R
             x + y B {ξi + ηi }∞
                               i=1 ,  λx = {λξi }∞  i=1 ,
                            ∞
                           X 1 |ξi − ηi |
                 ρ(x, y) =                        .
                                2i 1 + |ξi − ηi |
                                 i=1
   Приведем примеры нормированных пространств.
   Пример 1. Пространства R, C (действительных или ком-
плексных чисел) с нормой
                                 kxk = |x|.
   Пример 2. Пространство Rn с нормой
                v
                u n
                uX
          kxk = t    x2i , (x = (x1 , . . . , xn )),
                       i=1

Страницы