Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 25
МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ
И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
§ 25.1. Метрические и нормированные
пространства
Определение 1. Множество R называется метрическим
пространством, если каждой паре его элементов x, y поста-
влено в соответствие действительное неотрицательное число
ρ(x, y) > 0, называемое расстоянием между элементами x и y
и удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам):
1.
◦
ρ(x, y) > 0, ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;
2.
◦
ρ(x, y) = ρ(y, x) (аксиома симметрии);
3.
◦
ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y) (неравенство треугольника).
Элементы метрического пространства называют также
точками.
Примером метрического пространства является n-мерное
евклидово пространство R
n
элементов x = (x
1
, . . . , x
n
), x
i
∈ R
(1 6 i 6 n) с расстоянием
ρ(x, y) = |x − y| =
v
u
u
t
n
X
i=1
(x
i
− y
i
)
2
.
Другим примером является множество C([a, b]) непрерыв-
ных на отрезке [a, b] функций с расстоянием
ρ(f, g) = max
a6t6b
|f(t) −g(t)|.
С помощью понятия расстояния можно ввести понятия
сходящейся последовательности точек метрического простран-
ства, фундаментальной последовательности, полноты метри-
ческого пространства, ε-окрестности точки, открытого и зам-
кнутого множества, замыкания множества и другие. Мы по-
знакомимся с этими понятиями на примере линейных норми-
рованных пространств, входящих в класс метрических про-
           Глава 25
 МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ
 И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

        § 25.1. Метрические и нормированные
                    пространства
   Определение 1. Множество R называется метрическим
пространством, если каждой паре его элементов x, y поста-
влено в соответствие действительное неотрицательное число
ρ(x, y) > 0, называемое расстоянием между элементами x и y
и удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам):
    1.◦ ρ(x, y) > 0, ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;
    2.◦ ρ(x, y) = ρ(y, x) (аксиома симметрии);
    3.◦ ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y) (неравенство треугольника).
   Элементы метрического пространства называют также
точками.
   Примером метрического пространства является n-мерное
евклидово пространство Rn элементов x = (x1 , . . . , xn ), xi ∈ R
(1 6 i 6 n) с расстоянием
                                     v
                                     u n
                                     uX
                 ρ(x, y) = |x − y| = t (xi − yi )2 .
                                      i=1

   Другим примером является множество C([a, b]) непрерыв-
ных на отрезке [a, b] функций с расстоянием
                   ρ(f, g) = max |f (t) − g(t)|.
                            a6t6b

   С помощью понятия расстояния можно ввести понятия
сходящейся последовательности точек метрического простран-
ства, фундаментальной последовательности, полноты метри-
ческого пространства, ε-окрестности точки, открытого и зам-
кнутого множества, замыкания множества и другие. Мы по-
знакомимся с этими понятиями на примере линейных норми-
рованных пространств, входящих в класс метрических про-

Страницы