Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 140 стр.

140 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

странств. Перенос этих понятий и свойств на случай произ-
вольного метрического пространства не составляет труда.
   Определение 2. Множество R называется действитель-
ным (или вещественным) линейным (или векторным) про-
странством, если для каждых двух его элементов x, y ∈ R
определена их сумма x + y ∈ R и для каждого элемента x ∈
∈ R и любого вещественного числа λ определено произведение
λx ∈ R, удовлетворяющие следующим аксиомам:
   1.◦ x + y = y + x ∀ x, y ∈ R;
   2.◦ (x + y) + z = x + (y + z) ∀ x, y, z ∈ R;
   3.◦ в R существует такой элемент ~0, что x + ~0 = ~x ∀ x ∈ R;
   4.◦ для каждого x ∈ R существует противоположный эле-
       мент, обозначаемый через −x такой, что x + (−x) = ~0
       ∀ x ∈ R;
     ◦
   5. (λ + µ)x = λx + µx ∀ x ∈ R, ∀ λ, µ ∈ R;
   6.◦ λ(x + y) = λx + λx ∀ x, y ∈ R, ∀ λ ∈ R;
   7.◦ (λµ)x = λ(µx) ∀ x ∈ R, ∀ λ, µ ∈ R (C);
   8.◦ 1x = x ∀ x ∈ R.
   Вычитанием называется операция, обратная сложению.
Под разностью x − y понимают x − y B x + (−y).
   Если в этом определении множество R вещественных чисел
заменить на множество C комплексных чисел (λ, µ ∈ C), то по-
лучим определение комплексного линейного (векторного) про-
странства.
    Определение 3. Если в линейном пространстве можно
найти n линейно независимых элементов, а любые n + 1 эле-
ментов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что
линейное пространство имеет размерность n.
    Если же в линейном пространстве можно указать систему
из произвольного конечного числа линейно независимых эле-
ментов, то говорят, что линейное пространство бесконечно-
мерно.
    Бесконечная система элементов линейного пространства
называется линейно независимой, если любое конечное число
ее элементов линейно независимо.