Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

138 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье
Полагая
c
0
=
a
0
2
, c
k
=
1
2
(a
k
− b
k
i), c
−k
=
1
2
(a
k
+ b
k
i),
получаем
f(x) ∼
∞
X
k=−∞
c
k
e
ikx
, c
k
=
1
2π
Z
π
−π
f(x)e
−ikx
dx,
(k = 0, ±1, ±2, . . .).
Здесь частичной суммой ряда называется S
n
(x; f) =
=
n
P
k=−n
c
k
e
ikx
, а ряд называется сходящимся, если существует
lim
n→∞
S
n
(x; f), который называется суммой ряда.
Заметим, что мы пришли бы к тому же ряду
∞
P
k=−∞
c
k
e
ikx
,
если бы, исходя из системы {e
ikx
}
∞
k=−∞
, ортогональной в том
смысле, что
Z
π
−π
e
ikx
e
isx
dx =
Z
π
−π
e
ikx
e
−isx
dx = 0 при k 6= s,
начали строить такую же теорию рядов Фурье, как для триго-
нометрической системы.
138             Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

      Полагая
                a0            1                                1
         c0 =      ,   ck =     (ak − bk i),         c−k =       (ak + bk i),
                2             2                                2
получаем
                       ∞                             Z   π
                       X                         1
          f (x) ∼          ck eikx
                                       ,   ck =              f (x)e−ikx dx,
                                                2π    −π
                    k=−∞
                           (k = 0, ±1, ±2, . . .).
  Здесь частичной суммой ряда называется Sn (x; f ) =
   n
      ck eikx , а ряд называется сходящимся, если существует
  P
=
  k=−n
lim Sn (x; f ), который называется суммой ряда.
n→∞
                                                                         ∞
                                                                                ck eikx ,
                                                                         P
      Заметим, что мы пришли бы к тому же ряду
                                                                       k=−∞
если бы, исходя из системы {eikx }∞k=−∞ , ортогональной в том
смысле, что
      Z π             Z π
           ikx isx
          e e dx =        eikx e−isx dx = 0 при k 6= s,
         −π                       −π
начали строить такую же теорию рядов Фурье, как для триго-
нометрической системы.

Страницы