Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

136 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье
Кроме того, ее производная F
0
(t) = f (t) −
a
0
2
кусочно не-
прерывна на [−π, π]. В силу теоремы 2 и замечания к ней ряд
Фурье функции F сходится к ней равномерно на [−π, π]:
F (x) =
A
0
2
+
∞
X
k=1
A
k
cos kx + B
k
sin kx. (14)
Найдем связь между коэффициентами Фурье A
k
, B
k
функ-
ции F и коэффициентами Фурье функции f .
Интегрируя по частям, получаем
A
k
=
1
π
π
Z
−π
F (x) cos kx dx =
=
1
π
F (x)
sin kx
k
π
−π
−
1
kπ
π
Z
−π
h
f(x) −
a
0
2
i
sin kx dx = −
b
k
k
, k ∈ N.
Аналогично B
k
=
a
k
k
, k ∈ N.
Для нахождения A
0
положим в (14) x = 0. Получим
A
0
2
+
∞
X
k=1
A
k
= 0, откуда
A
0
2
=
∞
X
k=1
b
k
k
.
Следовательно,
F (x) =
∞
X
k=1
a
k
k
sin kx +
b
k
k
(1 − cos kx).
§ 24.5. Ряды Фурье 2l-периодических функций.
Комплексная форма рядов Фурье
Пусть l > 0 и f — 2l-периодическая функция, абсолютно
интегрируемая на отрезке [−l, l]. Положим f
l
(x) = f
πx
l
. То-
гда функция f
l
— 2π-периодическая и абсолютно интегрируе-
мая на отрезке [−π, π]. Построив для f
l
ряд Фурье и произведя
обратную замену переменной x на
lx
π
, получаем для функции
f ряд
f(x) ∼
a
0
2
+
∞
X
k=1
a
k
cos
kπx
l
+ b
k
sin
kπx
l
,
136           Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

   Кроме того, ее производная F 0 (t) = f (t) − a20 кусочно не-
прерывна на [−π, π]. В силу теоремы 2 и замечания к ней ряд
Фурье функции F сходится к ней равномерно на [−π, π]:
                         ∞
                    A0 X
           F (x) =     +    Ak cos kx + Bk sin kx.         (14)
                     2
                                  k=1
   Найдем связь между коэффициентами Фурье Ak , Bk функ-
ции F и коэффициентами Фурье функции f .
   Интегрируя по частям, получаем
        Zπ
      1
Ak =       F (x) cos kx dx =
      π
        −π                 Zπ
    1       sin kx π     1 h          a0 i              bk
  = F (x)             −       f (x) −      sin kx dx = − , k ∈ N.
    π          k −π kπ                2                 k
                              −π

Аналогично Bk = akk , k ∈ N.
      Для нахождения A0 положим в (14) x = 0. Получим
                  ∞                          ∞
            A0 X                      A0 X b k
               +    Ak = 0, откуда        =       .
             2                         2        k
                 k=1                                    k=1
      Следовательно,
                        ∞
                        X ak                  bk
              F (x) =              sin kx +      (1 − cos kx).
                              k               k
                        k=1


  § 24.5. Ряды Фурье 2l-периодических функций.
          Комплексная форма рядов Фурье
   Пусть l > 0 и f — 2l-периодическая функция, абсолютно
                                                       
интегрируемая на отрезке [−l, l]. Положим fl (x) = f πxl . То-
гда функция fl — 2π-периодическая и абсолютно интегрируе-
мая на отрезке [−π, π]. Построив для fl ряд Фурье и произведя
обратную замену переменной x на lx   π , получаем для функции
f ряд
                         ∞
                   a0 X           kπx           kπx
           f (x) ∼    +    ak cos      + bk sin     ,
                   2               l             l
                              k=1

Страницы