Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье 135
Предельный переход в последнем неравенстве при N → ∞
показывает, что оно остается верным, если в нем вместо N
поставить ∞. Используя его, получаем, что
|r
n
(x; f )| 6
6
v
u
u
t
2
∞
X
k=n+1
(α
2
k
+ β
2
k
)
v
u
u
t
∞
X
k=n+1
1
k
2m
= ε
n
v
u
u
t
∞
X
k=n+1
1
k
2m
, (12)
причем ε
n
→ 0 (n → ∞) в силу сходимости ряда
∞
P
k=1
(α
2
k
+
+ β
2
k
), вытекающей из неравенства Бесселя для функции f
(m)
.
Заметим, что
∞
X
k=n+1
1
k
2m
6
∞
X
k=n+1
Z
m
k−1
dx
x
2m
6
Z
∞
n
dx
x
2m
=
1
(2m − 1)n
2m−1
.
Отсюда и из (12) следует (11).
Теорема 3 (о почленном интегрировании ряда Фу-
рье). Пусть f — кусочно непрерывная на отрезке [−π, π] функ-
ция и
f(x) ∼
a
0
2
+
∞
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx
— ее ряд Фурье. Тогда
Z
x
0
f(t) dt =
Z
x
0
a
0
dt
2
+
∞
X
k=1
Z
x
0
(a
k
cos kt + b
k
sin kt) dt =
=
a
0
x
2
+
∞
X
k=1
a
k
k
sin kx +
b
k
k
(1 − cos kx) (13)
и ряд в правой части равенства сходится равномерно на R.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим
F (x) =
Z
x
0
h
f(t) −
a
0
2
i
dt.
Функция F непрерывна на отрезке [−π, π] и
F (π) − F (−π) =
Z
π
−π
f(t) dt − πa
0
= 0.
  § 24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье               135

   Предельный переход в последнем неравенстве при N → ∞
показывает, что оно остается верным, если в нем вместо N
поставить ∞. Используя его, получаем, что
|rn (x; f )| 6
          v              v                      v
          u ∞ 2          u ∞                    u ∞
          u X            u X                    u X
                      2                  1                1
       6 2t    (αk + βk )t                 = εn t            ,          (12)
                                      k 2m              k 2m
          k=n+1             k=n+1               k=n+1
                                                                 ∞
                                                                       (αk2 +
                                                                 P
причем εn → 0 (n → ∞) в силу сходимости ряда
                                                                 k=1
+ βk2 ), вытекающей из неравенства Бесселя для функции f (m) .
Заметим, что
     ∞           ∞ Z m           Z ∞
    X       1    X         dx        dx          1
            2m
               6            2m
                               6      2m
                                         =                .
          k           k−1 x       n x      (2m − 1)n2m−1
  k=n+1         k=n+1
   Отсюда и из (12) следует (11).
    Теорема 3 (о почленном интегрировании ряда Фу-
рье). Пусть f — кусочно непрерывная на отрезке [−π, π] функ-
ция и
                             ∞
                        a0 X
                f (x) ∼   +     ak cos kx + bk sin kx
                        2
                            k=1
— ее ряд Фурье. Тогда
Z x            Z x        ∞ Z
                   a0 dt X x
    f (t) dt =          +        (ak cos kt + bk sin kt) dt =
 0              0    2        0
                          k=1
                                ∞
                      a0 x X ak          bk
                    =     +     sin kx +    (1 − cos kx)                (13)
                       2     k           k
                                k=1
и ряд в правой части равенства сходится равномерно на R.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим
                             Z xh
                                            a0 i
                    F (x) =       f (t) −        dt.
                               0            2
   Функция F непрерывна на отрезке [−π, π] и
                                 Z π
             F (π) − F (−π) =         f (t) dt − πa0 = 0.
                                    −π

Страницы