Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье 133
теоремы 1 при x ∈ R имеем
|r
n
(x; f )| =
∞
X
k=n+1
a
k
cos kx + b
k
sin kx
=
=
∞
X
k=n+1
1
k
m−1
(α
k
cos kx + β
k
sin kx)
.
В силу (8), (10)
|r
n
(x; f )| 6 C
ln n
n
1
(n + 1)
m−1
6 C
ln n
n
m
,
и (9) в этом случае установлено.
Пусть теперь m − 1 нечетно. Тогда
|r
n
(x; f )| =
∞
X
k=n+1
a
k
cos kx + b
k
sin kx
=
=
∞
X
k=n+1
1
k
m−1
(α
k
sin kx − β
k
cos kx)
.
Ряд
∞
P
k=n+1
α
k
sin kx − β
k
cos kx сходится по лемме 3. В
силу (7), (8)
|r
n
(x; f )| 6 C
ln n
n
1
(n + 1)
m−1
6 C
ln n
n
m
,
и теорема доказана.
Теорема 2 показывает, что чем больше производных имеет
функция f, тем с большей скоростью сходится ее ряд Фурье.
З а м е ч а н и е 2. Лемму 2 и теорему 2 можно
переформулировать для функции f, заданной лишь на отрезке
[−π, π], добавив условия в концах отрезка, гарантирующие вы-
полнение для ее 2π-периодического продолжения условий соот-
ветственно леммы 2 и теоремы 2. Именно, следует для функ-
ции f : [−π, π] → R считать выполненными следующие допол-
нительные условия на односторонние производные:
f
(j)
(−π) = f
(j)
(π) при j = 0, 1, . . . , m − 1.
   § 24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье                133

теоремы 1 при x ∈ R имеем
                  ∞
                  X
|rn (x; f )| =           ak cos kx + bk sin kx =
                 k=n+1                   ∞
                                         X        1
                                    =                 (αk cos kx + βk sin kx) .
                                                k m−1
                                        k=n+1

    В силу (8), (10)
                                    ln n    1       ln n
                 |rn (x; f )| 6 C                 6C m ,
                                     n (n + 1)m−1   n
и (9) в этом случае установлено.
    Пусть теперь m − 1 нечетно. Тогда
                  ∞
                  X
|rn (x; f )| =           ak cos kx + bk sin kx =
                 k=n+1                   ∞
                                         X        1
                                    =                 (αk sin kx − βk cos kx) .
                                                k m−1
                                        k=n+1

            ∞
            P
    Ряд             αk sin kx − βk cos kx сходится по лемме 3.               В
          k=n+1
силу (7), (8)
                                    ln n    1       ln n
                 |rn (x; f )| 6 C             m−1
                                                  6C m ,
                                     n (n + 1)      n
и теорема доказана.
   Теорема 2 показывает, что чем больше производных имеет
функция f , тем с большей скоростью сходится ее ряд Фурье.
   З а м е ч а н и е 2. Лемму 2 и теорему 2 можно
переформулировать для функции f , заданной лишь на отрезке
[−π, π], добавив условия в концах отрезка, гарантирующие вы-
полнение для ее 2π-периодического продолжения условий соот-
ветственно леммы 2 и теоремы 2. Именно, следует для функ-
ции f : [−π, π] → R считать выполненными следующие допол-
нительные условия на односторонние производные:
           f (j) (−π) = f (j) (π) при j = 0, 1, . . . , m − 1.

Страницы