Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

132 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье
Так же, как при доказательстве теоремы 24.1.2, получаем
sup
x∈R
n
|
˜
f(x) −
˜
S
n
(x; f)| 6 C
ln n
n
при n > 2,
что равносильно (7).
В теореме 15.4.2 (признак Дирихле сходимости числового
ряда) установлена сходимость ряда
∞
P
k=1
a
k
b
k
и оценка его
суммы
∞
X
k=1
a
k
b
k
6 |a
1
|sup
n∈N
∞
X
k=1
b
k
(8)
при выполнении условий:
1.
◦
последовательность {a
k
} монотонно стремится к нулю;
2.
◦
правая часть (8) конечна (т. е. последовательность
n
P
k=1
b
k
∞
n=1
ограничена).
Теорема 2. Пусть при m ∈ N 2π-периодическая функция
f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включи-
тельно и кусочно непрерывную производную f
(m)
.
Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и
max
x∈R
|f(x) − S
n
(x; f)| = O
ln n
n
m
=
= o
1
n
m−ε
при n → ∞ и ∀ε > 0. (9)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай m = 1 совпадает с теоре-
мой 24.2.2. Пусть ϕ B f
(m−1)
и α
k
, β
k
— коэффициенты Фурье
функции ϕ. По теореме 24.2.2
sup
x∈R
∞
X
k=n+1
α
k
cos kx + β
k
sin kx
6 C
ln n
n
∀n > 2. (10)
Пусть a
k
, b
k
— коэффициенты Фурье функции f. Пусть сна-
чала m − 1 — четно. Тогда в силу m − 1 раз примененной
132               Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

Так же, как при доказательстве теоремы 24.1.2, получаем
                                            ln n
             sup |f˜(x) − S̃ n (x; f )| 6 C             при n > 2,
            x∈Rn                             n
что равносильно (7).
   В теореме 15.4.2 (признак Дирихле сходимости числового
                                     ∞
                                     P
ряда) установлена сходимость ряда       ak bk и оценка его
                                                    k=1
суммы
                          ∞
                          X                         ∞
                                                    X
                                ak bk 6 |a1 | sup       bk               (8)
                          k=1                n∈N k=1

при выполнении условий:
   1.◦ последовательность {ak } монотонно стремится к нулю;
   2.◦ правая  часть (8) конечна (т. е. последовательность
        n      ∞
         P
            bk      ограничена).
            k=1     n=1


   Теорема 2. Пусть при m ∈ N 2π-периодическая функция
f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включи-
тельно и кусочно непрерывную производную f (m) .
   Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и
                                   
                               ln n
max |f (x) − Sn (x; f )| = O          =
x∈R                            nm
                                     
                                   1
                          =o            при n → ∞ и ∀ ε > 0. (9)
                                 nm−ε

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай m = 1 совпадает с теоре-
мой 24.2.2. Пусть ϕ B f (m−1) и αk , βk — коэффициенты Фурье
функции ϕ. По теореме 24.2.2
             ∞
             X                                      ln n
      sup           αk cos kx + βk sin kx 6 C                ∀ n > 2.   (10)
      x∈R k=n+1                                      n

Пусть ak , bk — коэффициенты Фурье функции f . Пусть сна-
чала m − 1 — четно. Тогда в силу m − 1 раз примененной

Страницы