Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

130 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m > 1 и
f
(m)
(x) ∼
∞
X
k=1
α
k
cos kx + β
k
sin kx.
Применяя m раз теорему 1, получаем, что
|α
k
| + |β
k
| = k
m
(|a
k
| + |b
k
|), k ∈ N
0
.
Поскольку α
k
, β
k
→ 0 (k → ∞) по лемме о стремлении
к нулю коэффициентов Фурье, из последнего равенства полу-
чаем (5).
Лемма 2 показывает, что коэффициенты Фурье функции f
тем быстрее стремятся к нулю, чем лучше дифференциальные
свойства функции f .
Утверждение леммы 2 можно несколько усилить, если при-
менить неравенство Бесселя (1) к производной f
(m)
:
∞
X
k=1
k
2m
(a
2
k
+ b
2
k
) 6
1
π
Z
π
−π
(f
(m)
(x))
2
dx < ∞.
Установим оценки скорости приближения функции ее сум-
мами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств
функции. Изучим для этого характер сходимости ряда, со-
пряженного с рядом Фурье 2π-периодической непрерывной и
кусочно непрерывно дифференцируемой функции f, т. е. ряда
˜
S(x; f) B
∞
X
k=1
a
k
sin kx − b
k
cos kx, (6)
где a
k
, b
k
— коэффициенты Фурье функции f .
Сопряженным ядром Дирихле называется
˜
D
n
(x) =
n
X
k=1
sin kx =
cos
x
2
− cos
n +
1
2
x
2 sin
x
2
.
Последнее равенство устанавливается так же, как (24.1.5). Так
же, как (24.1.8), устанавливается, что частичную сумму
˜
S
n
(x; f) =
n
X
k=1
a
k
sin kx − b
k
cos kx
130             Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

      Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m > 1 и
                               X∞
                    (m)
                   f (x) ∼         αk cos kx + βk sin kx.
                                k=1
Применяя m раз теорему 1, получаем, что
                |αk | + |βk | = k m (|ak | + |bk |),     k ∈ N0 .
   Поскольку αk , βk → 0 (k → ∞) по лемме о стремлении
к нулю коэффициентов Фурье, из последнего равенства полу-
чаем (5).
   Лемма 2 показывает, что коэффициенты Фурье функции f
тем быстрее стремятся к нулю, чем лучше дифференциальные
свойства функции f .
   Утверждение леммы 2 можно несколько усилить, если при-
менить неравенство Бесселя (1) к производной f (m) :
          ∞
                                 1 π (m)
          X                       Z
             k 2m (a2k + b2k ) 6      (f (x))2 dx < ∞.
                                 π −π
             k=1
   Установим оценки скорости приближения функции ее сум-
мами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств
функции. Изучим для этого характер сходимости ряда, со-
пряженного с рядом Фурье 2π-периодической непрерывной и
кусочно непрерывно дифференцируемой функции f , т. е. ряда
                          ∞
                          X
              S̃(x; f ) B   ak sin kx − bk cos kx,      (6)
                                k=1
где ak , bk — коэффициенты Фурье функции f .
   Сопряженным ядром Дирихле называется
                                                  
                      n          cos x − cos n + 1 x
                      X              2           2
            D̃n (x) =   sin kx =              x      .
                                        2 sin 2
                        k=1
Последнее равенство устанавливается так же, как (24.1.5). Так
же, как (24.1.8), устанавливается, что частичную сумму
                                    n
                                    X
                   S̃ n (x; f ) =         ak sin kx − bk cos kx
                                    k=1

Страницы