Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

128 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье
Домножим равенство (2) почленно на f (x) и проинтегрируем
полученный ряд (также равномерно с ходящийся) почленно.
Получим в силу формул (24.1.2) для коэффициентов Фурье ра-
венство Парсеваля:
a
0
2
+
∞
X
k=1
(a
2
k
+ b
2
k
) =
1
π
Z
π
−π
f
2
(x) dx, (3)
следствием которого является (2).
Пусть теперь функция f удовлетворяет условиям леммы и
Λ
J
: R → R — 2π-периодическая непрерывная функция, ку-
сочно линейная на [−π, π], построенная при доказательстве те-
оремы Вейерштрасса 24.3.1 (график Λ
J
представляет собой
вписанную в график f ломаную). Обозначим через a
k
(f), b
k
(f)
коэффициенты Фурье функции f.
Используя уже доказанный случай неравенства (1), полу-
чаем
a
2
0
(Λ
J
)
2
+
n
X
k=1
(a
2
k
(Λ
J
) + b
2
k
(Λ
J
)) 6
1
π
Z
π
−π
Λ
2
J
(x) dx ∀n ∈ N. (4)
Пусть n ∈ N фиксировано, а J → ∞. Тогда, как легко
видеть,
a
k
(Λ
J
) → a
k
(f), b
k
(Λ
J
) → b
k
(f),
Z
π
−π
Λ
2
J
(x) dx →
Z
π
−π
f
2
(x) dx.
Переходя к пределу в неравенстве (10), получаем, что
a
2
0
(f)
2
+
n
X
k=1
(a
2
k
(f) + b
2
k
(f)) 6
1
π
Z
π
−π
f
2
(x) dx.
Переходя в последнем неравенстве к пределу при n → ∞,
приходим к утверждению леммы.
З а м е ч а н и е 1. Равенство Парсеваля (3) и (сле-
довательно) неравенство Бесселя (1) будут распространены
в §25.4 на абсолютно интегрируемые на (−π, π) функции со
сходящимися интегралами в правых частях (3), (1).
128            Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

Домножим равенство (2) почленно на f (x) и проинтегрируем
полученный ряд (также равномерно сходящийся) почленно.
Получим в силу формул (24.1.2) для коэффициентов Фурье ра-
венство Парсеваля:
                  ∞
                                  1 π 2
                                   Z
             a0 X 2
               +    (ak + b2k ) =      f (x) dx,       (3)
             2                    π −π
                     k=1

следствием которого является (2).
     Пусть теперь функция f удовлетворяет условиям леммы и
ΛJ : R → R — 2π-периодическая непрерывная функция, ку-
сочно линейная на [−π, π], построенная при доказательстве те-
оремы Вейерштрасса 24.3.1 (график ΛJ представляет собой
вписанную в график f ломаную). Обозначим через ak (f ), bk (f )
коэффициенты Фурье функции f .
     Используя уже доказанный случай неравенства (1), полу-
чаем
           n
a20 (ΛJ ) X 2                         1 π 2
                                       Z
         +   (ak (ΛJ ) + b2k (ΛJ )) 6     Λ (x) dx ∀ n ∈ N. (4)
     2                                π −π J
            k=1

   Пусть n ∈ N фиксировано, а J → ∞. Тогда, как легко
видеть,
            ak (ΛJ ) → ak (f ), bk (ΛJ ) → bk (f ),
                Z π             Z π
                     2
                    ΛJ (x) dx →      f 2 (x) dx.
                    −π              −π

      Переходя к пределу в неравенстве (10), получаем, что
                     n
           a20 (f ) X 2                       1 π 2
                                               Z
                   +   (ak (f ) + b2k (f )) 6      f (x) dx.
              2                               π −π
                    k=1

    Переходя в последнем неравенстве к пределу при n → ∞,
приходим к утверждению леммы.
    З а м е ч а н и е 1. Равенство Парсеваля (3) и (сле-
довательно) неравенство Бесселя (1) будут распространены
в § 25.4 на абсолютно интегрируемые на (−π, π) функции со
сходящимися интегралами в правых частях (3), (1).

Страницы