Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 126 стр.

126         Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

   Оставим эту теорему без доказательства.
   Факт сходимости последовательности сумм Фейера в тео-
реме Фейера выражают еще и следующим образом:
   Ряд Фурье 2π-периодической непрерывной функции f сум-
мируем к f (x) методом средних арифметических.
   Метод суммирования ряда средними арифметическими (по-
следовательности его частичных сумм) дает возможность и
для некоторых расходящихся рядов определить понятие их
суммы как предела последовательности этих средних арифме-
тических. Для сходящегося ряда это понятие совпадает с по-
нятием суммы ряда.
   Пример 1. Расходящийся ряд 1−1+1−1+ . . . суммируем
методом средних арифметических к числу 21 .
   С помощью теоремы 1 (Вейерштрасса) доказывается и воз-
можность приближения с любой точностью непрерывной на
отрезке функции подходящим алгебраическим многочленом P .
   Теорема 3 (Вейерштрасса). Пусть функция f непре-
рывна на отрезке [a, b]. Тогда для любого ε > 0 существует
такой алгебраический многочлен P , что
                   max |f (x) − P (x)| < ε.
                    a6x6b
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим линейно отрезок [0, π]
на отрезок [a, b]:
                      b−a
            x=a+            t, 0 6 t 6 π, a 6 x 6 b,
                        π
                                    
и положим f ∗ (t) = f a + b −   π
                                  a t , 0 6 t 6 π. Продолжим ее

четным образом на отрезок [−π, 0] и затем на всю ось с пери-
одом 2π, сохранив обозначение f ∗ . Полученная функция f ∗ :
R → R является 2π-периодической и непрерывной на R. По
теореме 1 для каждого ε > 0 найдется такой тригонометриче-
ский многочлен T , что
                                                         ε
          max |f ∗ (t) − T (t)| 6 max |f ∗ (t) − T (t)| < .
         06t6π                    x∈R                    2
Функции cos kt, sin kt (а значит, и T (t)) раскладываются в
степенные ряды с радиусом сходимости R = +∞, и, следова-