Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§24.3. Приближение непрерывных функций многочленами 125
Функция Λ
J
удовлетворяет условиям теоремы 24.2.1, по-
этому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следова-
тельно, существует такое n = n(ε), что
max
x∈R
|Λ
j
(x) − S
n
(x; Λ
J
)| <
ε
2
.
Из последних двух неравенств получаем, что
max
x∈R
|f(x) − S
n
(x; Λ
J
)| < ε,
т. е. утверждение теоремы при
T (x) = S
n
(x; Λ
J
).
Теорему 1 в эквивалентной форме можно сформулировать
следующим образом.
Теорема 1
0
. (Вейерштрасса). Пусть функция f непре-
рывна на отрезке [−π, π] и f(−π) = f(π). Тогда для каждого
ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T , что
max
−π6x6π
|f(x) − T (x)| < ε.
Упражнение 1. Показать, что последняя теорема пере-
стает быть верной, если отбросить условие f (−π) = f(π).
Заметим, что в теореме 1 в качестве тригонометрического
многочлена T нельзя (вообще говоря) взять S
n
(x; f ) (частич-
ную сумму ряда Фурье функции f ), поскольку ряд Фурье не-
прерывной функции не обязан равномерно сходиться (не обязан
даже и поточечно сходиться) к функции f. Однако в качестве
T можно взять σ
n
(x; f ) (сумму Фейера функции f ) при доста-
точно большом n, где
σ
n
(x; f ) =
S
0
(x; f ) + S
1
(x; f ) + . . . + S
n
(x; f )
n + 1
— среднее арифметическое сумм Фурье, как это следует из
теоремы Фейера.
Теорема 2 (Фейера). Пусть f — 2π-периодическая не-
прерывная функция. Тогда
σ
n
(x; f ) ⇒
R
f(x) при n → ∞.
   § 24.3. Приближение непрерывных функций многочленами      125

   Функция ΛJ удовлетворяет условиям теоремы 24.2.1, по-
этому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следова-
тельно, существует такое n = n(ε), что
                                            ε
                max |Λj (x) − Sn (x; ΛJ )| < .
                x∈R                         2
   Из последних двух неравенств получаем, что
                  max |f (x) − Sn (x; ΛJ )| < ε,
                   x∈R
т. е. утверждение теоремы при
                         T (x) = Sn (x; ΛJ ).
   Теорему 1 в эквивалентной форме можно сформулировать
следующим образом.
   Теорема 10 . (Вейерштрасса). Пусть функция f непре-
рывна на отрезке [−π, π] и f (−π) = f (π). Тогда для каждого
ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T , что
                     max |f (x) − T (x)| < ε.
                   −π6x6π

   Упражнение 1. Показать, что последняя теорема пере-
стает быть верной, если отбросить условие f (−π) = f (π).
   Заметим, что в теореме 1 в качестве тригонометрического
многочлена T нельзя (вообще говоря) взять Sn (x; f ) (частич-
ную сумму ряда Фурье функции f ), поскольку ряд Фурье не-
прерывной функции не обязан равномерно сходиться (не обязан
даже и поточечно сходиться) к функции f . Однако в качестве
T можно взять σn (x; f ) (сумму Фейера функции f ) при доста-
точно большом n, где
                     S0 (x; f ) + S1 (x; f ) + . . . + Sn (x; f )
        σn (x; f ) =
                                       n+1
— среднее арифметическое сумм Фурье, как это следует из
теоремы Фейера.
   Теорема 2 (Фейера). Пусть f — 2π-периодическая не-
прерывная функция. Тогда
                σn (x; f ) ⇒ f (x) при n → ∞.
                           R

Страницы