Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье 127
тельно, равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому
существует такой номер n = n(ε), что
max
06t6π
|T (t) − P
n
(t)| <
ε
2
,
где P
n
— многочлен Тейлора функции T .
Из последних двух неравенств получаем, что
max
06t6π
|f
∗
(t) − P
n
(t)| <
ε
2
+
ε
2
= ε,
или (возвращаясь к переменной x)
max
a6x6b
f(x) − P
n
π
x − a
b − a
< ε.
Теорема доказана.
Теорему 3 можно переформулировать следующим образом:
Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция является
равномерным пределом некоторой последовательности алге-
браических многочленов.
§ 24.4. Почленное дифференцирование и
интегрирование тригонометрических рядов.
Скорость стремления к нулю коэффициентов
и остатка ряда Фурье
Лемма 1. Пусть f — 2π-периодическая и кусочно непре-
рывная функция, a
k
, b
k
— ее коэффициенты Фурье.
Тогда справедливо неравенство Бесселя:
a
2
0
2
+
∞
X
k=1
(a
2
k
+ b
2
k
) 6
1
π
Z
π
−π
f
2
(x) dx. (1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала f является 2π-пе-
риодической непрерывной и кусочно непрерывно дифференци-
руемой функцией. По теореме 2, она раскладывается в равно-
мерно сходящийся ряд Фурье:
f(x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx. (2)
  § 24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье   127

тельно, равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому
существует такой номер n = n(ε), что
                                          ε
                   max |T (t) − Pn (t)| < ,
                  06t6π                   2
где Pn — многочлен Тейлора функции T .
   Из последних двух неравенств получаем, что
                                       ε ε
               max |f ∗ (t) − Pn (t)| < + = ε,
              06t6π                    2 2
или (возвращаясь к переменной x)
                                         
                                      x−a
               max f (x) − Pn π             < ε.
              a6x6b                   b−a
   Теорема доказана.
   Теорему 3 можно переформулировать следующим образом:
   Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция является
равномерным пределом некоторой последовательности алге-
браических многочленов.

     § 24.4. Почленное дифференцирование и
   интегрирование тригонометрических рядов.
   Скорость стремления к нулю коэффициентов
               и остатка ряда Фурье
   Лемма 1. Пусть f — 2π-периодическая и кусочно непре-
рывная функция, ak , bk — ее коэффициенты Фурье.
   Тогда справедливо неравенство Бесселя:
                   ∞
             a20 X 2               1 π 2
                                    Z
                             2
                +     (ak + bk ) 6      f (x) dx.   (1)
             2                     π −π
                   k=1

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала f является 2π-пе-
риодической непрерывной и кусочно непрерывно дифференци-
руемой функцией. По теореме 2, она раскладывается в равно-
мерно сходящийся ряд Фурье:
                              ∞
                       a0 X
               f (x) =     +     ak cos kx + bk sin kx.     (2)
                        2
                          k=1

Страницы