Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье 129
Теорема 1. Пусть 2π-периодическая функция f непре-
рывна и кусочно непрерывно дифференцируема и пусть
f(x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx
— ее разложение в ряд Фурье. Тогда
f
0
(x) ∼
∞
X
k=1
−ka
k
sin kx + kb
k
cos kx,
т. е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье функ-
ции почленным дифференцированием.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
f
0
(x) ∼
α
0
2
+
∞
X
k=1
α
k
cos kx + β
k
sin kx.
Тогда
α
0
=
1
π
Z
π
−π
f
0
(x) dx =
1
π
[f(π) −f(−π)] = 0.
Интегрируя по частям, получим
α
k
=
1
π
Z
π
−π
f
0
(x) cos kx dx =
=
1
π
f(x) cos kx
π
−π
+
k
π
Z
π
−π
f(x) sin kx dx = kb
k
,
β
k
=
1
π
Z
π
−π
f
0
(x) sin kx dx =
=
1
π
f(x) sin kx
π
−π
−
k
π
Z
π
−π
f(x) cos kx dx = −ka
k
.
Лемма 2. Пусть 2π-периодическая функция f имеет не-
прерывные производные до порядка m −1 включительно и ку-
сочно непрерывную производную порядка m ∈ N.
Тогда для коэффициентов Фурье функции f выполняются
оценки
|a
k
| + |b
k
| = o
1
k
m
при k → ∞. (5)
  § 24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье     129

   Теорема 1. Пусть 2π-периодическая функция f непре-
рывна и кусочно непрерывно дифференцируема и пусть
                         ∞
                     a0 X
             f (x) =   +   ak cos kx + bk sin kx
                     2
                             k=1
— ее разложение в ряд Фурье. Тогда
                    ∞
                    X
             0
            f (x) ∼    −kak sin kx + kbk cos kx,
                       k=1
т. е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье функ-
ции почленным дифференцированием.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
                               ∞
                         α0 X
               f 0 (x) ∼    +     αk cos kx + βk sin kx.
                         2
                             k=1
   Тогда
              1 π 0
                 Z
                                 1
           α0 =      f (x) dx = [f (π) − f (−π)] = 0.
              π −π               π
Интегрируя по частям, получим
     1 π 0
      Z
αk =      f (x) cos kx dx =
     π −π
                                π
                                     k π
                                       Z
                   1
               = f (x) cos kx      +        f (x) sin kx dx = kbk ,
                   π            −π   π −π
     1 π 0
      Z
βk =      f (x) sin kx dx =
     π −π
                              π
                                   k π
                                     Z
                1
             = f (x) sin kx      −       f (x) cos kx dx = −kak .
                π             −π   π −π
   Лемма 2. Пусть 2π-периодическая функция f имеет не-
прерывные производные до порядка m − 1 включительно и ку-
сочно непрерывную производную порядка m ∈ N.
   Тогда для коэффициентов Фурье функции f выполняются
оценки                            
                                 1
            |ak | + |bk | = o        при k → ∞.       (5)
                                km

Страницы