Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье 131
ряда (6) можно представить в виде
˜
S
n
(x; f ) = −
Z
π
0
˜
D
n
(t)[f(x + t) − f (x − t)] dt =
=
1
π
Z
π
0
h
x
(t) cos

n +
1
2
t
dt +
˜
f(x),
где
h
x
(t) B
f(x + t) − f (x − t)
2 sin
t
2
,
˜
f(x) B −
1
π
Z
π
0
f(x + t) − f (x − t)
2 tg
t
2
dt.
Лемма 3. Пусть 2π-периодическая функция f непрерывна
и кусочно непрерывно дифференцируема, a
k
, b
k
— ее коэффи-
циенты Фурье.
Тогда при некотором C > 0 и ∀n > 2
sup
x∈R
∞
X
n+1
a
k
sin kx − b
k
cos kx
6 C
ln n
n
. (7)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим M
1
B max
R
|f
0
|. С помо-
щью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем
|f(x + t) − f (x − t)| 6 2M
1
t, 0 < t 6 π,
откуда следует, в частности, что
˜
f(x) существует для каждого
x (как интеграл от непрерывной на (0, π] и ограниченной функ-
ции). Оценим
˜
f(x) −
˜
S
n
(x; f ) = −
1
π
Z
π
0
h
x
(t) cos
n +
1
2
t dt,
используя оценки
|h
x
(t)| 6 πM
1
,
d
dt
h
x
(t)
6 |f
0
(x + t) + f
0
(x − t)|
1
2 sin
t
2
+
+|f(x + h) − f (x − h)|
cos
t
2
4 sin
2
t
2
6
πM
1
t
+
π
2
M
1
2t
6
π
2
M
1
t
.
   § 24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье             131

ряда (6) можно представить в виде
                 Z π
S̃ n (x; f ) = −      D̃n (t)[f (x + t) − f (x − t)] dt =
                   0
                                 1 π
                                    Z                      
                                                          1
                              =         hx (t) cos    n+       t dt + f˜(x),
                                 π 0                      2
где
                                  f (x + t) − f (x − t)
                       hx (t) B                         ,
                                         2 sin 2t
                              1 π f (x + t) − f (x − t)
                                Z
                 ˜
                 f (x) B −                                 dt.
                              π 0            2 tg 2t
   Лемма 3. Пусть 2π-периодическая функция f непрерывна
и кусочно непрерывно дифференцируема, ak , bk — ее коэффи-
циенты Фурье.
   Тогда при некотором C > 0 и ∀ n > 2
                ∞
                X                           ln n
            sup   ak sin kx − bk cos kx 6 C      .     (7)
            x∈R                              n
                    n+1

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим M1 B max |f 0 |. С помо-
                                                        R
щью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем
           |f (x + t) − f (x − t)| 6 2M1 t, 0 < t 6 π,
откуда следует, в частности, что f˜(x) существует для каждого
x (как интеграл от непрерывной на (0, π] и ограниченной функ-
ции). Оценим
                                 1 π
                                  Z                  
        ˜                                           1
        f (x) − S̃ n (x; f ) = −     hx (t) cos n +     t dt,
                                 π 0                2
используя оценки
                             |hx (t)| 6 πM1 ,
 d                                          1
    hx (t) 6 |f 0 (x + t) + f 0 (x − t)|          +
 dt                                      2 sin 2t
                                     cos 2t       πM1 π 2 M1   π 2 M1
        +|f (x + h) − f (x − h)|              6      +       6        .
                                    4 sin2 2t      t    2t         t

Страницы