Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§24.2. Сходимость ряда Фурье 123
Теорема 4. Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно
интегрируема на [−π, π]. Пусть на некотором отрезке [a
0
, b
0
] f
непрерывна и кусочно непрерывно дифференцируема.
Тогда ряд Фурье функции f равномерно сходится к f на
любом отрезке [a, b] ⊂ (a
0
, b
0
).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть λ = λ
n
= n +
1
2
,
π
λ
6 δ, [a −
− 2δ, b + 2δ] ⊂ [a
0
, b
0
], x ∈ [a, b]. Воспользуемся оценкой (5). В
силу (6) при α = 1
I
δ,n
(x) 6 2δ max
[a
0
,b
0
]
|f
0
|.
Для получения оценки J
δ,n
используем оценку (7) разности
в подынтегральном выражении. Тогда
J
δ,n
(x) 6
C
1
δ
Z
π
−π
f
u +
π
λ
− f(u)
du+
+
C
2
δ
2
λ
Z
π
−π
|f(u)|du + 2π max
[a,b]
|f|
.
Пусть задано ε > 0. Выберем δ = δ(ε) > 0 столь малым,
что sup
[a,b]
I
δ,n
<
ε
2
при ∀n >
π
δ
. При выбранном δ
∃n
δ
∈ N : sup
[a,b]
J
δ,n
<
ε
2
∀n > n
δ
.
Тогда из (5) и полученных оценок следует, что
sup
x∈[a,b]
|S
n
(x; f ) − f(x)| → 0 при n → ∞,
и теорема доказана.
Отметим, что теорема 4 расширяет сформулированный
ранее принцип локализации, показывая, что для утвержде-
ния о равномерной сходимости ряда Фурье функции f на от-
резке [a, b] достаточно учесть поведение этой функции лишь на
окрестности (a −ε, b+ε) этого отрезка при сколь угодно малом
ε > 0.
Из теоремы 4 следует, например, что ряд
∞
P
k=1
sin kx
k
из при-
мера 1 на любом отрезке [ε, 2π −ε], ε > 0, равномерно сходится
к функции f (x) =
π − x
2
.
                 § 24.2. Сходимость ряда Фурье                 123

   Теорема 4. Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно
интегрируема на [−π, π]. Пусть на некотором отрезке [a0 , b0 ] f
непрерывна и кусочно непрерывно дифференцируема.
   Тогда ряд Фурье функции f равномерно сходится к f на
любом отрезке [a, b] ⊂ (a0 , b0 ).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть λ = λn = n + 21 , π
                                                        λ 6 δ, [a −
                  0   0
− 2δ, b + 2δ] ⊂ [a , b ], x ∈ [a, b]. Воспользуемся оценкой (5). В
силу (6) при α = 1
                      Iδ,n (x) 6 2δ max |f 0 |.
                                    [a0 ,b0 ]

    Для получения оценки Jδ,n используем оценку (7) разности
в подынтегральном выражении. Тогда
           C1 π 
             Z
                       π
Jδ,n (x) 6      f u+      − f (u) du+
           δ −π        λ
                                 Z π                         
                             C2
                          + 2         |f (u)| du + 2π max |f | .
                             δ λ   −π                 [a,b]

   Пусть задано ε > 0. Выберем δ = δ(ε) > 0 столь малым,
что sup Iδ,n < 2ε при ∀ n > πδ . При выбранном δ
    [a,b]
                                         ε
               ∃ nδ ∈ N : sup Jδ,n <            ∀ n > nδ .
                           [a,b]         2
   Тогда из (5) и полученных оценок следует, что
             sup |Sn (x; f ) − f (x)| → 0 при n → ∞,
            x∈[a,b]
и теорема доказана.
   Отметим, что теорема 4 расширяет сформулированный
ранее принцип локализации, показывая, что для утвержде-
ния о равномерной сходимости ряда Фурье функции f на от-
резке [a, b] достаточно учесть поведение этой функции лишь на
окрестности (a − ε, b + ε) этого отрезка при сколь угодно малом
ε > 0.
                                                ∞
   Из теоремы 4 следует, например, что ряд
                                                P  sin kx из при-
                                                      k
                                                       k=1
мера 1 на любом отрезке [ε, 2π − ε], ε > 0, равномерно сходится
к функции f (x) = π − x
                    2 .

Страницы