Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§24.2. Сходимость ряда Фурье 121
Заметим, что функции, удовлетворяющие условию Гёль-
дера, непрерывны и что класс функций, удовлетворяющих
условию Гёльдера степени α, сужается при увеличении α.
Если функция f непрерывна и кусочно непрерывно диф-
ференцируема на [a, b], то она удовлетворяет на [a, b] условию
Липшица.
Следующая теорема обобщает теорему 2.
Теорема 3. Пусть 2π-периодическая функция f удовле-
творяет на R условию Гёльдера степени α, 0 < α 6 1.
Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R и
sup
x
|S
n
(x; f ) − f(x)| 6 C
α
ln n
n
α
∀n > 2,
где C
α
не зависит от n.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся формулой (2) в виде
S
n
(x; f ) − f(x) =
1
π
Z
π
−π
f(x + t) −f(x)
2 sin
t
2
sin

n +
1
2
t
dt.
Положим
h
x
(t) =
f(x + t) − f (x)
2 sin
t
2
, λ = λ
n
= n +
1
2
, δ >
π
λ
.
Так же, как при доказательстве теоремы Римана об осцил-
ляции, получаем
Z
π
−π
h
x
(t) sin λt dt = −
Z
π−
π
λ
−π−
π
λ
h
x
t +
π
λ
sin λt dt =
=
Z
π
−π
h
x
t +
π
λ
sin λt dt =
1
2
Z
π
−π
h
h
x
(t) − h
x
t +
π
λ
i
sin λt dt.
Следовательно,
|S
n
(x; f ) − f(x)| 6
1
2π
Z
π
−π
h
x
t +
π
λ
− h
x
(t)
dt =
=
1
2π
Z
δ
−δ
. . . dt +
1
2
Z
−δ
−π
+
Z
π
δ
. . . dt = I
δ,n
(x) + J
δ,n
(x). (5)
                        § 24.2. Сходимость ряда Фурье                       121

   Заметим, что функции, удовлетворяющие условию Гёль-
дера, непрерывны и что класс функций, удовлетворяющих
условию Гёльдера степени α, сужается при увеличении α.
   Если функция f непрерывна и кусочно непрерывно диф-
ференцируема на [a, b], то она удовлетворяет на [a, b] условию
Липшица.
   Следующая теорема обобщает теорему 2.

   Теорема 3. Пусть 2π-периодическая функция f удовле-
творяет на R условию Гёльдера степени α, 0 < α 6 1.
   Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R и
                                                  ln n
                  sup |Sn (x; f ) − f (x)| 6 Cα          ∀ n > 2,
                    x                              nα
где Cα не зависит от n.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся формулой (2) в виде
                       1 π f (x + t) − f (x)
                        Z                               
                                                       1
  Sn (x; f ) − f (x) =                       sin    n+    t dt.
                       π −π       2 sin 2t             2

Положим
                    f (x + t) − f (x)                      1          π
         hx (t) =                       ,   λ = λn = n +     ,   δ>     .
                          2 sin 2t                         2          λ

    Так же, как при доказательстве теоремы Римана об осцил-
ляции, получаем
Z π                       Z π− π
                                λ
                                        π
    hx (t) sin λt dt = −          hx t +     sin λt dt =
 −π                        −π− π         λ
                                λ
     Z π 
                                   1 πh
                                    Z
                  π                                    π i
  =     hx t +        sin λt dt =       hx (t) − hx t +       sin λt dt.
      −π          λ                2 −π                  λ
Следовательно,
                                 Z π
                               1             π
|Sn (x; f ) − f (x)| 6                hx t +        − hx (t) dt =
                              2π −π           λ
         Z   δ                Z −δ Z π 
     1                      1
=                . . . dt +          +       . . . dt = Iδ,n (x) + Jδ,n (x). (5)
    2π    −δ                2    −π     δ

Страницы