Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

120 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье
+|f(x + t) + f(x −t) −2f(x)|
cos
t
2
4 sin
2
t
2
6
πM
1
t
+
π
2
M
1
2t
6
π
2
M
1
t
.
Пусть 0 < δ = δ
n
< π. Перепишем формулу (1) в виде
S
n
(x; f) − f(x) =
=
1
π
Z
δ
0
+
Z
π
δ
g
x
(t) sin
n +
1
2
t
dt = I
n
+ J
n
. (4)
Очевидно, что |I
n
| 6 δM
1
.
C помощью интегрирования по частям имеем
J
n
= −
1
π
g
x
(t)
cos
n +
1
2
t
n +
1
2
π
δ
−
1
π
π
Z
δ
d
dt
g
x
(t)
cos
n +
1
2
t
n +
1
2
dt.
Отсюда
|J
n
| 6
M
1
n +
1
2
+
πM
1
ln
1
2
n +
1
2
=
1 + π ln
1
δ
M
1
1
n +
1
2
.
Полагая δ = δ
n
=
1
n
, получаем, что при n > 2
sup
x∈R
|S
n
(x; f) − f(x)| 6 |I
n
| + |J
n
| 6
C ln n
n
,
где C не зависит от n. Теорема доказана.
Другое доказательство теоремы 2 совпа дает с доказатель-
ством случая α = 1 теоремы 3.
Подчеркнем, что теорема 2 не только устанавливает рав-
номерную сходимость ряда Фурье, но и дает оценку быстроты
стремления к нулю остатка этого ряда.
Равномерная сходимость ряда Фурье периодической функ-
ции может быть установлена и при условиях более общих, чем
в теореме 2, например, для функций, удовлетворяющих усло-
вию Гёльдера.
Определение 3. Говорят, что функция f: [a, b] → R удо-
влетворяет условию Гёльдера степени α, 0 < α 6 1 (или усло-
вию Липшица в случае α = 1), если ∃M
α
> 0:
|f(x) − f(y)| 6 M
α
|x − y|
α
∀x, y ∈ [a, b].
120               Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

                                           cos 2t       πM1 π 2 M1   π 2 M1
+|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)|                  6       +       6        .
                                         4 sin2 2t       t    2t         t
      Пусть 0 < δ = δn < π. Перепишем формулу (1) в виде
Sn (x; f ) − f (x) =
                   Z δ Z π                  
                 1                             1
              =         +       gx (t) sin n +     t dt = In + Jn . (4)
                 π    0    δ                   2
Очевидно, что |In | 6 δM1 .
    C помощью интегрирования по частям имеем
                                                              
                     cos  n  +  1 t π      Zπ         cos  n +  1 t
            1                   2         1 d                   2
  Jn = − gx (t)               1
                                       −       gx (t)         1
                                                                    dt.
            π            n+          δ    π dt            n+
                                 2                  δ                       2
      Отсюда
                   M1          πM1 ln 12       
                                                            1
                                                                
                                                                           1
        |Jn | 6            +               =       1 + π ln         M1          .
                  n + 12        n + 12                      δ            n + 12
                 1 , получаем, что при n > 2
Полагая δ = δn = n
                                                                C ln n
            sup |Sn (x; f ) − f (x)| 6 |In | + |Jn | 6                 ,
            x∈R                                                   n
где C не зависит от n. Теорема доказана.
   Другое доказательство теоремы 2 совпадает с доказатель-
ством случая α = 1 теоремы 3.
   Подчеркнем, что теорема 2 не только устанавливает рав-
номерную сходимость ряда Фурье, но и дает оценку быстроты
стремления к нулю остатка этого ряда.
   Равномерная сходимость ряда Фурье периодической функ-
ции может быть установлена и при условиях более общих, чем
в теореме 2, например, для функций, удовлетворяющих усло-
вию Гёльдера.
   Определение 3. Говорят, что функция f : [a, b] → R удо-
влетворяет условию Гёльдера степени α, 0 < α 6 1 (или усло-
вию Липшица в случае α = 1), если ∃ Mα > 0:
             |f (x) − f (y)| 6 Mα |x − y|α              ∀ x, y ∈ [a, b].

Страницы